Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

13.19. марковские случайные процессы. марковская цепь

Частным видом случайных функций являются марковские случайные процессы.

Случайный процесс, протекающий в системе S, называется марковским процессом (процессом без последействий), если он обладает следующим свойством: для каждого момента времени t0 вероятность любого состояния системы в будущем (при t > t0) зависит только от ее состояния в настоящем S(t0) и не зависит от того, когда и каким образом система перешла в это состояние.

Состояния системы могут изменяться либо дискретно, либо непрерывно.

Случайный марковский процесс называется процессом с дискретными состояниями, если возможные состояния системы Sv S2, —,Sn можно пронумеровать, а сам процесс состоит в том, что время от времени система S скачком (мгновенно) переходит из одного состояния в другое. Таким процессом описывается работа любого устройства, которое может находиться в двух состояниях: Б, — система работает, S2 — система вышла из строя.

Случайный марковский процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если эти состояния меняются непрерывно, постепенно. Примером такого процесса является движение самолета, автомашины.

В системе с дискретными состояниями переход из состояния в состояние может происходить в определенные, фиксированные либо случайные моменты времени.

Случайный марковский процесс называется процессом с дискретным временем, если переходы системы из состояния в состояние возможны только в строго определенные, заранее фиксированные моменты времени tv t2,.... В промежутках между этими моментами система S сохраняет свое состояние.

Случайный марковский процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход системы из состояния в состояние

 

362

возможен в любой заранее не известный случайный момент времени.

Так как для марковского процесса с дискретными состояниями и дискретным временем моменты времени tv t2,tk,... фиксированы, то процесс можно рассматривать как функцию целочисленного аргумента к (к = 1, 2,...) — нбмера шага. В этом случае переходы системы из состояния в состояние представляют собой последовательность (цепочку) событий или состояний S^l S[2 s!f S^5 ... . (Число в скобках означает номер шага, нижний индекс — номер состояния.)

Случайная последовательность событий в фиксированные моменты времени называется дискретной марковской цепью.

Если переход системы из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени, то соответствующая цепочка состояний называется непрерывной цепью Маркова.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями используют графы состояний. Граф состояний геометрически изображает возможные состояния системы и ее возможные переходы из состояния в состояние.

Важное место в исследовании экономических систем занимает процесс гибели и размножения.

Марковская непрерывная цепь называется процессом гибели и размножения, если ее граф состояний представляет собой цепочку, в которой каждое из промежуточных состояний связано прямой и обратной связью с каждым соседним состоянием (рис. 13.2).

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |