Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

14.11. построение доверительного интервала

Методика построения доверительных интервалов для отдельных параметров зависит как от вида закона распределения, так и от знания значений остальных параметров этого закона.

379

Рассмотрим задачу построения доверительного интервала для математического ожидания при известной дисперсии.

Пусть имеется нормально распределенная случайная величина с известной дисперсией ах. Требуется построить доверительный интервал для математического ожидания Мх с заданной надежностью у.

На основании имеющейся выборки получаем точечную оценку математического ожидания в виде выборочной средней

1 "

/=1

которая является случайной величиной и при нормальном распределении составляющих выборки тоже распределена нормально:

(х-Мх)2

т =    1   с 2^й,

-/2л oxl"Jn

таккакМ[хв] - Мх, ав - ax/yfn.

Вероятность того, что случайная величина хв попадет в интервал ]МХ - 8, Мх + 8[, находится по формуле

Мх+5

Р(МХ-Ъ<хв<Мх+Ъ) =   J f(x)dx =

мх-ь

Мх+Ь J^ft 8^/ах

=       * /r-   f е  2а'/" dx = ^=        e""2/2d« = уІ2ксх/^п MJx_5 ^-d/cx

= 0(8jn/ox) - Ф(-8л/я/стх) = 2Ф(8 yfn/ox),

где и = ——, Ф(г) = }— е_и ^2 d« — функция Лапласа, обычно ах/1п l2nJ0

задаваемая таблично (см. Приложение 2).

Используя очевидное равенство

Р(МХ-8<Хв<Мх+д) = Р(ХВ-Ь<Мх<Хв+д)

и задавая значение этой вероятности (надежности) у, при известных значениях ах и п можно с помощью таблицы функции Лапласа получить вначале значение Ь4п/сх, а затем и 8.

380

О Пример. Определить доверительный интервал случайной величины для хв - 5, п - 4, ах - 1 и уровня надежности у-0,954. Определяем значение функции Лапласа:

Ф(8л/й/ах) = у/2 = 0,477.

По таблице значений функции Ф(г) находим соответствующее

8 2

значение z- В данном случае      = 2. Тогда 8 = 1.

Доверительный интервал (5 - 1; 5 + 1) = (4; 6). Следовательно, 4 < Мх < 6 с вероятностью 0,954. •

Часто требуется определять доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения нормального распределения ах по «исправленному» выборочному среднему квадратичному отклонению s с заданной надежностью у. Для этого используется формула

s s 1 + q     х 1-д'

где q определяется на основе использования интегральной функции надежности, представленной в Приложении 3. Задавая значение надежности у и объем выборки п, по таблице указанного приложения можно получить значение q.

О Пример. Пусть для нормального распределения произведена выборка п = 25 и найдено s = 0,8. Найти доверительный интервал, покрывающий ах с надежностью у= 0,95.

,т.е. (0,6; 1,18). •

По таблице Приложения 3 находим q = 0,32 и определяем дове-f   0,8   .   0,8 л

рительныи интервал:

1 + 0,32 1-0,32

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |