Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

17.2. поле предпочтений потребителя

Если в экономике выделено и видов товаров, то стратегией потребителя Q называется и-мерный вектор:

Xj,..., Xj,..., хп),

где х. (j - 1, 2, и) — количество у-го товара, приобретенного (проданного) этим потребителем за некоторый единичный отрезок времени.

442

Число х. считается положительным, если у'-й товар приобретается, и отрицательным, если этот товар продается.

Относительно множества X(Q) всевозможных стратегий потребителя Q обычно делают следующие предположения.

Г. Множество X(Q) является замкнутым подмножеством и-мерного пространства R".

Таким образом, если некоторый и-мерный вектор можно с любой степенью точности приблизить стратегией потребителя Q, то и сам этот вектор является стратегией потребителя Q.

2°. Множество X(Q) выпукло, т.е. если хь х2 — стратегии потребителя Q, ос > О, Р>0иа + Р=1, то и вектор ах, + рх2 является стратегией этого потребителя.

3°. Множество X(Q) ограничено снизу, т.е. существует число Ь такое, что для всех стратегий х - (xv х., хп) справедливы неравенства

xj>b, y=l,2,...,/i.

Естественно предположить, что потребитель Q, исходя из потребительских свойств товаров, всегда может определить либо что одна из двух его стратегий х и у лучше другой (х > у или у > х), либо что они для него безразличны (х ~ у). При этом стратегия х не хуже стратегии у (х > у), если х > у или х ~ у.

Таким образом, можно считать, что на множестве стратегий потребителя Q задано отношение предпочтения, удовлетворяющее следующим условиям:

а)       для любой стратегии х є X(Q) х>х;

б)       из условий х > у, у >z, где х, у, z є X(Q), всегда следует,

что х > z;

в)       для любых стратегий х, у є X(Q) либо х > у, либо у > х.

Если на множестве стратегий X(Q) потребителя Q задано некоторое отношение предпочтения >, то говорят, что потребитель Q имеет поле предпочтений (X(Q), >).

Отношение предпочтения > на множестве X(Q) называется непрерывным, если множество {(х, у) | х > у} является открытым подмножеством прямого произведения X(Q) X X(Q).

Иными словами, непрерывность предпочтения означает, что если для потребителя Q стратегия х0 лучше стратегии у0, а стратегии х и у достаточно близки соответственно к х0 и у0, то для этого потребителя и стратегия х лучше стратегии у.

443

Отношение предпочтения > на выпуклом множестве стратегий X(Q) называется сильно выпуклым, если из условий х > у, х, у є X(Q), а > О, Р > О, а + Р = 1 следует, что ах + РУ > у.

Предположим, что потребитель Q имеет поле предпочтений (X(Q), >), a V — некоторое подмножество множества стратегий Д0.

Стратегия х є V является наиболее предпочтительной стратегией в множестве V, если х > у для всех стратегий у eV.

Наиболее предпочтительная стратегия в множестве всех стратегий X(Q) потребителя Q называется точкой насыщения этого потребителя.

Если при заданном векторе цен на товары р = (pv р., рп) известен бюджет / потребителя Q, то поведение этого потребителя на рынке определяется наиболее предпочтительной стратегией в множестве стратегий х = (xv х.,хп) є X(Q), удовлетворяющих бюджетному ограничению

17.3. Модель дезагрегированной экономики и конкурентное равновесие

Предположим, что в экономике, включающей / потребителей Qv Q., 0,ит производителей Пр П^, Пт, выделено и видов товаров. При этом:

каждый потребитель Q. (/=1,2,..., /) имеет поле предпочтений (АЩ), >) и обладает некоторой первоначальной собственностью

at =(аІЬ...,ац,...,аіп),

где а.. — количество у'-го товара, находящегося в распоряжении потребителя Q.;

каждый производитель Пк (к = 1,2,т) располагает технологическим множеством У(Пк), содержащим нулевой вектор;

прибыль каждого производителя Пк распределяется между всеми потребителями, доля участия потребителя Q. в прибыли производителя Пк задана и равна а.к (/ = 1, 2,I; к= 1, 2,т).

444

Набор из / + т + 1 векторов

.         *        *        *        *        *        *        *.

(Xj ,...,Xj ,...,Х/ ,У ,—,Ук,--;Ут,Р ),

где

х* - (х*и...,хІ;...,х*п) є X(Qi),  і - 1,2,...,I,

Ук = (Укі>•••>Уц>•••>Укп) є ^(Пк),  к = 1,2,т,

ар* = (p*v ...,р*,— вектор цен на товары, называется конкурентным равновесием, если выполняются следующие условия:

каждый производитель Пк (к = 1, 2,/и), используя производственный процесс ук, при векторе цен р получает максимальную прибыль пк(р ),т.е.

л л

4(f) = ^Ук/Р*,- = ™х£у„р], у=1 у=1

где максимум берется по всем ук = (ук1,у^,у^) є Y(nk);

стратегияxt (/=1,2,...,/)является наиболее предпочтительной среди всех стратегий х, = {ха, ...,х.., хы) є X(Qt), удовлетворяющих бюджетному ограничению, т.е.

л        и т

^Р*ху < Y,p*jaij + Хал(/);

У=1    У=1 *=1

соблюдается баланс совокупного предложения и спроса по всем товарам, т.е.

/        / т

( I

к=1

г=1 1=1 ( I

5Л + 5>і

i=    k= J

j = 1,2,..., и.

Конкурентное равновесие в приведенной модели дезагрегированной экономики всегда существует при следующих дополнительных ограничениях (теорема Эрроу и Дебре):

а) совокупное технологическое множество

Т = і,Ук I Ук є Y(Uk),  к = 1,2,/и J

выпукло и замкнуто в пространстве R", причем TnRn+ = {Q},    Tn(-T) = {Q};

445

б)       множество стратегий X(Qt) (/ = 1, 2,/) потребителя б, яв-

ляется выпуклым, замкнутым и ограниченным снизу в простран-

стве R";

в)       отношение предпочтения >;. (/ = 1, 2, /) непрерывно и

сильно выпукло на множестве и ни для одного потребителя

нет точки насыщения;

г)       первоначальная собственность а, = (a.j,я~,ajn) (і - 1, 2,

/) потребителя Q. положительна, т.е. существует стратегия

xt - (хп,xif    хіп) є X(Q) такая, что

ау>ху> J= l'2> Набор из / + /я векторов

(хІ5X,-,X/, Уі,..., Ук, Ут),

где

х- = (хд,х..,х.п) є X(Q.) (/=1,2,...,/),

Ук=<Укі> -'Уф ->yJ є Y(uk>  (* = !. 2> называется совместным распределением производства и потребления, если

/        / т

X*? *       +  •/ =   2' •"' «•

i=l      i=l fc=l

Распределение (Xj*,..., х*,..., х,*, у[,..., у*к,..., у*т) называется оптимальным по Парето, если не существует распределения

(Х,X,-,Х/5 Уі,..., Ук,Ут), УДОВЛеТВОрЯЮЩеГО УСЛОВИЯМ Xj > X, ,

/= 1, 2,...,/, а для некоторого /  х, > х*.

Основное свойство конкурентного равновесия. Если набор векторов

(x~i,...,x*,х/, уі,уі,fm, р*)

является конкурентным равновесием в модели дезагрегированной экономики, удовлетворяющей условиям «а»—«г», то соответствующее распределение (xj",..., х*,..., х], у{,..., у*к,..., у*т) оптимально по Парето.

Приложения

449

451

Критические точки

(kv к2 — числа

Р=0,9

Приложение 5

Приложение 6

Критические точки распределения Стьюдента

(значения t , соответствующие вероятности а = Р( Т > f ) с к степенями свободы)