Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

1.17. многочлены

Многочленом от неизвестного х называют выражение вида а0х" + ахх"~х +... + ап1х + ап,

где а0, av    anV ап — некоторые числа.

Числа aQ, av апХ — коэффициенты при степенях х, а ап — свободный член многочлена.

Наивысшую степень х, входящую в многочлен с ненулевым коэффициентом, называют степенью многочлена. Степень много-члена/(х) обозначают deg/(x).

Два многочлена считают равными, если при одинаковых степенях х стоят равные коэффициенты.

Многочлены можно складывать и перемножать. Например, если/(х)=х3-2х2-3, &<р(х)=х2-х + 2,то

fix) + ф(х) = (х3 - 2Х2 - 3) + (х2-х + 2) = х3 - х2-х - 1;

Дх)ф(х) = (х3 - 2Х2 - 3) (х2 - х + 2) = х5 - 2х4 - Ъх2 - х4 + Ъ? + Зх +

+ 2Х3 - 4Х2 - 6 = х5 - Зх4 + 4Х3 - 7Х2 + Зх - 6.

16

Для любых двух многочленов fix) и ф(х) можно найти такие многочлены q(x) и ripe), что

f(x) = (p(x)q(x) + r(x),

где degrix) < degqix) или г(х) = 0. Многочлены q(x) и г(х), удовлетворяющие этому условию, определены однозначно. Их соответственно называют частным и остатком от деления/(х) на ф(х).

О Пример. Разделить многочлен fix) = 2х3 - Зх2 + 5х - 4 на ф(х) =х2-4х+ 3. Имеем

2х3-Зх2 + 5х-4 |х2-4х+3

2х3-8х2 + 6х         2х + 5

5Х2- х-4 5х2-20х+15 19х-19

Здесь #(х) = 2х + 5 — частное, г(х) = 19х - 19 — остаток от деления fix) на ф(х). •

Если остаток от деления многочлена fix) на многочлен ф(х) тождественно равен 0, т.е./(х) = ф(х)#(х), то говорят, что fix) нацело делится на ф(х).

Число а называют корнем многочлена fix) - йдх" + axx"~l + ...

... + anlx + ап, если

/(ос) = а0а" + а^"  +... + а^а + ап = 0.

Например, число ос - 2 — корень многочлена fix) = Зх3 - 2Х2 --10х + 4,таккак/(2) = 3 - 23 - 2 - 22- 10 -2 + 4 = 0. Свойства корней многочлена:

Г. Многочлен степени и не может иметь более чем и различных корней.

2°. Если а — корень многочлена fix), то /(х) нацело делится на (х - а), т.е.Дх) = (х - a)qix).

3°. Корни многочлена ах2 + Ъх + с (второй степени) можно найти по формуле

-Ъ + yjb1 - 4ас   .      ,2 .

х12 =           (если о - Аас > 0).

 

17

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |