Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

1.19. графики элементарных функций

Целая рациональная функция (многочлен):

Линейная функция у - ах + Ъ (рис. 1.1). Графиком функции является прямая линия. Функция возрастает при а > 0 и убывает

( Ъ >

при а < 0. Оси координат пересекаются прямой в точках А —; 0

^ а

и 5(0; Ь). В случае Ъ = 0 получаем прямую пропорциональность: у = ах (рис. 1.2). График функции у - ах проходит через начало координат.

Квадратичная функция у - ах2 + Ьх + с (рис. 1.3). Графиком функции является парабола с осью симметрии, параллельной оси ординат. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при а < 0 —

18

Рис. 1.1

Рис. 1.2

вниз. Ось ординат пересекается кривой в точке В(0; с). Вершина

параболы С имеет координаты

Ъ _ 4ас - Ьг 2а 4а

. Абсциссы xv х2

точек пересечения параболы с осью Ох определяют по формуле

-Ъ ± уіЬ2 - 4ас „

—. Величины хх и х2 являются корнями квадрат-

Х1,2 -

3. Многочлен третьей степени y = ax3 + bx2 + cx + d (рис. 1.4). Графиком функции является кубическая парабола. Поведение функции зависит от знаков а и А = Зас-Ь2.В случае А > 0 функция возрастает при а > 0 и убывает при а < 0. Если же А < 0, то функция имеет одну точку максимума и одну точку минимума. Кубическая парабола имеет одну точку перегиба К. Ось ординат пересекается

19

ного уравнения ах2 + Ьх + с - 0 в том случае, когда оно имеет решения на множестве действительных чисел.

кривой в точке В(0; d). Абсциссы точек максимума и минимума х.

и х5 определяют по формуле х = —^—^——. Абсцисса точки пере-

гиба xfi равна

За

Касательная к графику в точке перегиба на-

А

клонена к оси Ох под углом а таким, что tgoc =

За

4. Степенная функция у-ах" (и > 1 — целое) (рис. 1.5). Графиком функции является парабола и-го порядка, которая проходит через точки О(0; 0) и А(1; а). При и четном график функции симметричен относительно оси Оу и в начале координат имеет минимум при а > 0 и максимум при а < 0. При п нечетном график функции симметричен относительно начала координат, которое является точкой перегиба графика.

Дробно-рациональная функция:

1. Обратно пропорциональная функция у - — (рис. 1.6). Графиком

х

функции является равносторонняя гипербола, ветви которой симметричны относительно начала координат. Оси координат служат асимптотами графика. В случае а > 0 гипербола имеет вершины в

20

точках А(4а; 4а), В(-4а; -4а). В случае а < 0 вершины имеют координаты Д-^;^),.^/^; --y/jof).

Дробно-линейная функция у - ах + ^ (рис. 1.7). Графиком

сх + d

функции является равносторонняя гипербола. Асимптотами слу-

d        _ а

жат прямая х - —, параллельная оси Оу, и прямая у = —, парал-

с с лельная оси Ох. Расположение ветвей гиперболы зависит от знака be - ad

величины Д =        г—.

с

Степенная функция у - — (и > 1 — целое) (рис. 1.8). Графи-

х"

ком функции является кривая гиперболического типа. Оси координат служат асимптотами графика. При п четном график симмет-

21

Рис. 1.8

ричен относительно оси Оу, при и нечетном — относительно нача ла координат.

У = <1х; 1

У = -

Некоторые иррациональные функции (рис. 1.9):

у = у[х;        - - -3'

1

У =

у[х' <]Х

Показательные и логарифмические функции:

Показательная функция у = а* (а > 0, а Ф 1) (рис. 1.10). График функции при любом а проходит через точку (0; 1) и асимптотически приближается к оси Ох. Функция принимает только положительные значения.

Логарифмическая функция у = log^x: (а > 0, а Ф 1) (рис. 1.11). График функции при любом а проходит через точку (1; 0) и асим-

 

22

 

птотически приближается к оси Оу. Функция определена только для положительных значений аргументах.

Замечание. Важное место в исследованиях многих явлений (в частности, экономических) занимают показательная функция у = е* и логарифмическая функция у = 1пх (у = logex). Число е — иррациональное (е = 2,72).

 

23

3. Кривая Гаусса у - е х (рис. 1.12). График функции имеет

одну точку максимума А(0; 1), две точки перегиба 2?(-^;-^) и

V2 Ve

2. Тангенс и котангенс:у = tgxnj> = ctgx (рис. 1.14). Функции tgx и ctgx периодические с периодом п.

 

24

 

 

 

-тс о

 

-1

у = secx

 

п

 

J

УІ

п

~2

^ У

и

= cosecx

Зя 2

і -п

і

1

тс   і 2тс] w

 

. о

 

1 W

і X

Зтс 2

П

-1 п

2

п

Рис. 1.15

 

Обратные тригонометрические функции:

такой, что siny = х. Напри-

ставит в соответствие угол у є

1. Арксинус и арккосинус: у - arcsinx и у - arccosx (рис. 1.16). Функция у - arcsinx каждому действительному числу х є [-1, 1]

тс я

"2'2_

. 1    тс        . тс 1

мер, arcsin- = —, так как sin— = -.

2   6   6 2

Функция у- arccosx каждому действительному числу х є [-1,1] ставит в соответствие угол у є [0, тс] такой, что cosy = х. Например,

1л      л 1

arccos- = —, так как cos— = -.

2    3  3 2

25

2. Арктангенс и арккотангенс: у = arctgx и у = arcctgx (рис. 1.17). Функция у = arctgx каждому действительному числу х є ]-<», +«>[ ставит в соответствие угол у є ]-я/2, я/2[ такой, что tgy = х. Например, arctg/3 = я/3, так как tg(7t/3) - у[3.

Функция у - arcctgx каждому действительному числу х є ]-°°, +°°[ ставит в соответствие угол у є ]0, я[ такой, что ctgy = x. Например, arcctg 1 = я/4, так как ctgfa/4) = 1.

 

26

1.20. Графики неэлементарных функций и важнейшие кривые

Неэлементарные функции:

1. у = [х] (читается: «у равно антье х») — целая часть х. Определяется как наибольшее целое число, не превосходящее х (рис. 1.18). Например, [3,24] = 3;   [0,7] = 0;   [-5,4] = -6.

Ук

2

 

у=[х]

 

Подпись: 1
Подпись: -1

О

з Г

 

 

Рис. 1.18

2. у = sign* (читается: (рис. 1.19):

 

signx

равно сигнум х») — знак числа х

 

-1,  если х < О,

если х = О,

если х > 0.

 

27

3. у - к — абсолютная величина (модуль) х (рис. 1.20):

х,  если х > 0,

 

 

28

Важнейшие кривые:

2 2 X У

Эллипс  —j + Чг = 1  (рис. 1.21).

2 2

Гипербола  ?—-?- =   (рис. 1.22).

Парабола  х2 = 2ду  или у2 = 2рх  (рис. 1.23).

 

Рис. 1.23

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |