Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

1.22. операции над множествами

Объединением (суммой) множеств А и В называют множество А и В всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств АиВ:

C=AkjВ= {ххе Ашшхе В).

Пересечением множеств АиВ называют множество А п В всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству Л, и множеству В:

С-АпВ-{ххе Аихе В}.

Замечание. Понятия объединения и пересечения могут быть обобщены на случай любого числа множеств (конечного или бесконечного). Если даны множества Ау, А2,Ак,    то символическая запись (J Ак означает объединение данных множеств, т.е. fc=i

определяет множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из данных множеств. Символическая запись Q Ак

означает пересечение данных множеств, т.е. определяет множество, каждый элемент которого принадлежит всем данным множествам.

Разностью множеств АиВ называют множество АВ тех элементов множества Л, которые не содержатся в множестве В:

С=АВ={хх<= Avixt В).

Если BczA,to разность АВ называют дополнением множества В до множества А и обозначают САВ.

Декартовым произведением множеств АиВ называют множество Ах В всех упорядоченных пар элементов (а, Ь) где а є A, b є В. Элементы аиЬ называют при этом компонентами (координатами) пары (а, Ь).

Декартово произведение АгхА2х ...хАп множеств А1, А2,..., Ап представляет собой множество всех упорядоченных и элементов (av а2,ап), где а1 є Av а2 є А2,ап є Ап. В частности, декартово произведение R х R х... х R, где R — множество действительных чисел, определяет л-мерное арифметическое пространство R" (см. п. 3.1).

 

30

О Примеры.

Если А — множество целых четных положительных чисел, а В — множество целых нечетных положительных чисел, тоАи В определяет множество натуральных чисел, т.е. множество N = {1,2, 3, ...,и,...}.

Если А — множество всех чисел, делящихся на 2, а В — множество всех чисел, делящихся на 5, то А п В определяет множество всех чисел, делящихся и на 2, и на 5, т.е. делящихся на 10.

Если А = {1, 2, 3, 4, 5}, а В = {3, 5}, то САВ = АВ = {1, 2, 4}, аВ4 = 0.

А. ЕслиЛ = {1, 2}, аЯ= {З, -1, 0}, тоЛхЯ= {(1, 3), (1, -1), (1, 0), (2, 3), (2, -1), (2, 0)}. •

Свойства операций над множествами:

Г. Аи0=А, V. Ап0 = 0. 3°. А и А = А']

(коммутативность).

(ассоциативность).

(дистрибутивность).

(идемпотентность).

АпА = А 4°. А и В = В u А

Ап В = В с А 5 Av(BvC) = (AvB)vC;

Ап(ВпС) = (АпВ)пС

6°. Av(BnQ = (AvB)n(AvC);

An(BvC) = (AnB)v(AnC) Т. Если А с Е и В с Е, то:

C£(iuB) = C£^n С£5, или

(законы двойственности).

А(Л и Д) = (£V0 п (£Я);

Q(4n5) = C^u С£Д или Е(А пВ) = (Ei) и (ЕВ)

Для краткости используются обозначения:

Vx — «для любого х»;

Зх — «существует такое х».

 

31

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |