Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

1.25. числовые множества. грани числового множества

Множество натуральных чисел

N = {«} = {1,2,...,«,...}. Множество целых чисел

Z = М и {0} и {-и} = {0, ±1, ±2, ±3,±п,...}. Множество рациональных чисел

Q = |^|, mepeZ,  gsZ, q*0.

Множество действительных (вещественных) чисел R= {х}. Имеет место такое последовательное включение:

N с Z с= Q с R.

Все указанные числовые множества обладают свойством упорядоченности, т.е. для любых двух различных элементов а и Ъ любого из данных множеств можно сказать, что либо а > Ъ, либо а < Ь. Кроме того, выполняется свойство транзитивности: ша>ЬмЬ>с следует, что а>с.

Множества Q и R являются всюду плотными множествами. Это означает, что между любыми двумя различными элементами а и Ь любого из указанных множеств найдется хотя бы один элемент этого же множества. Таким элементом является, например, эле-а + Ь

менте =       .

2

Множество R обладает важным свойством непрерывности, оно постулирует возможность установления взаимно однозначного соответствия (см. п. 1.23) между множеством действительных чисел и множеством точек на прямой линии.

Пусть А = {х} — некоторое непустое множество действительных чисел.

Множество Л называют ограниченным сверху (снизу), если существует действительное число Этакое, что для всех х є А выполняется неравенство х < К (х > К).

Всякое число К с указанным свойством называют верхней (нижней) гранью множества А.

Множество называют ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

34

Наименьшую из верхних граней множества А называют точной верхней гранью этого множества и обозначают символом svpA (супремум А).

Наибольшую из нижних граней множества А называют точной нижней гранью этого множества и обозначают символом т£А (инфимумЛ).

Свойства точной верхней и точной нижней граней:

Г. Для любого элемента х є А выполняется неравенство x<su$A (x>mL4).

2°. Для любого числа є > 0 найдется элемент х є А такой, что x>supA-e  (x<iafA + e).

Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) множество действительных чисел имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

О Примеры.

А = ]а, Ь[ = {х | а < х < Ь) — ограниченный открытый интервал. Здесь $щ>А = b, іпїА = а не принадлежат данному множеству.

А = [а, Ь] = {х | а < х < Ь} — ограниченный замкнутый интервал или отрезок. Здесь sup^4 = b, mL4 = а принадлежат данному множеству.

А = ]-оо, а[ = {х | -оо < х < а}; В = ]а, +°°[ = {х | а < х < +°°}; R = ]-°°; +оо[ — неограниченные открытые интервалы. Здесь sup^4 = a, inffi = а не принадлежат указанным множествам.

А = [а, Ь[ = {х | а < х < Ь}; В = ]а, b] = {х а < х < Ь); С= ]-°°; а] = = {х | -оо <х< a}; D= [а, +°°[ = {х а <х< +°°} — полуоткрытые интервалы. Здесь mfA - a, sup В = Ъ, supC = a, infD = а принадлежат указанным множествам; sup^4 = b, infS = а не принадежат им. •

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |