Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

1.26. комплексные числа

Мнимую единицу і определяют как число, квадрат которого равен (-1). Таким образом, і2 = -1.

Всякое комплексное число представляют в виде

z-a + bi

(алгебраическая форма записи комплексного числа). Здесь а и b — действительные числа. При этом а называют действительной частью комплексного числа z (а = Rez), b — его мнимой частью (b = lmz).

Если а = 0, то z = Ы называют чисто мнимым числом.

 

35

Если b - О, то z - а, т.е. комплексное число z равно действительному числу а. Множество действительных чисел, таким образом, есть подмножество множества комплексных чисел.

Два комплексных числа z1-a1 + b1i и z2-a2 + b2i считают равными (zj = z2), если и только если ах - а2 и Ъх - Ьт В противном случае z1 * zr Отношений «больше», «меньше» для комплексных чисел не существует.

Всякое комплексное число z-a + bi удобно изображать точкой (а, Ь) или соответствующим радиусом-вектором на комплексной плоскости (рис. 1.25). Оси Ох и Оу прямоугольной декартовой системы координат называют при этом соответственно действительной и мнимой осями. Величину р — длину радиуса-вектора точки z — называют модулем комплексного числа z и обозначают z. Угол ф (в радианах) называют аргументом комплексного числа z и обозначают ф = argz.

 

Имеют место соотношения а - рсовф, b - рвіпф. Тогда

г=р(С08ф + /8ІПф)

(тригонометрическая форма записи комплексного числа).

С другой стороны, р = yla2 + b2, tgф = —, при этом 0 < р < +°°,

а

-°° < ф < +°о. Более того, для данного комплексного числа z аргумент ф имеет бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на величину 2nk (к — целое число). Главное значение аргумента заключено в промежутке -л < ф < л.

Для числа z - 0 (а - Ъ - 0) аргумент не определяется, a z - 0.

36

Имеет место показательная форма записи комплексного числа:

а + Ы = ре*.

При этом е4" = coscp + /sirup (формула Эйлера).

Два комплексных числа z и z называют взаимно сопряженными, если они имеют равные действительные части и отличающиеся лишь знаком мнимые части (Reг - Re^, lmz - -lmz).

Очевидно, что z - z, a axgz - -argz, так что на комплексной плоскости точки z и z симметричны относительно действительной оси Re.

При этом

z = а + Ы = p(cos(p + /sincp) = ре4";

z-а-Ы- p(coscp - /sincp) = ре"фг.

Свойства комплексных чисел. Пусть даны два комплексных числа zi = al + bj - p1(cos91 + /sitKpj) и z2 = а2 + ^4 ~ P2(COS(P2 + zsm(p2)' тогда:

Г. zx + г2 = (а{ ± а2) + (Ьх + b2)i;

2°. zl-Z2 = (afa - ЬХЬ2) + (ахЪ2 + a2bx)i = p1p2[cos(91 + ф2) + + /sin^j + ф2)].

у К = (ala2 + blb2) + (a2bl-a1b2)i = £l[cm(   _   } +

z2      al + Ц р2

+ /sin(91 - (р2)]  {z2 ф 0).

4°. zi■ z = а + bl = р2;   z + z2 = z + z2;   Z-z2 = z-z2,

z~jz~2 = ^- (л2фЪ).

 

5°. z" = p"(cos«91 + /віпиф^, где n — целое число (формула Муавра).

ф, + j.kk     . .   ф, + zkk

cos—  + / sin—      

, где и — натуральное

В частности, і3 = -і, /4 = 1,іАп+т = іт. число, & k = Q, 1, 2,п - 1.

 

 

37

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |