Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

2.3. разрешенные системы линейных уравнений

Неизвестное х. называют разрешенным, если какое-нибудь уравнение системы содержит неизвестное х. с коэффициентом

48

единица, а во все остальные уравнения системы неизвестное xt не входит.

О Пример. Система уравнений

Xj       + Зх3       -Зх5 = 5,

- 7х3 + х4 + х5 = 8, (2.1)

0С>2 Н"       — 1

содержит разрешенные неизвестные xv х2, х4. Неизвестные же х3 и х5 не являются разрешенными. •

Если каждое уравнение системы содержит разрешенное неизвестное, то такую систему называют разрешенной.

Совокупность неизвестных х^, хІ2, ...,xir называют набором разрешенных неизвестных данной системы линейных уравнений, если каждое неизвестное хік, \<к<г, является разрешенным и каждое уравнение данной системы содержит ровно одно неизвестное из набора xh,xh, ...,х^.

Разрешенная система уравнений обладает набором разрешенных неизвестных.

Все неизвестные разрешенной системы уравнений, которые не входят в данный набор разрешенных неизвестных, называют свободными.

Для отыскания решения разрешенной системы уравнений надо свободным неизвестным придать какие-либо значения, подставить их в систему уравнений и найти значения разрешенных неизвестных. Полученная совокупность значений неизвестных является решением разрешенной системы уравнений.

Все решения разрешенной системы уравнений могут быть получены указанным способом.

О Пример. Найти решение разрешенной системы линейных равнений (2.1).

Из каждого уравнения системы выберем разрешенные неизвестные хр х2, х4. Тогда неизвестные х3, х5 являются свободными. Придадим свободным неизвестным х3, х5 значения х3 = 1, х5 = 2 и подставим их в систему уравнений:

+ 3 • 1 - 3 ■ 2 = 5,

• -7 • 1 + х4 + 2 = 8,

х2+ 2-1-2 = 1.

49

Из полученной системы находим: хх - 8, х2 - 1, хА - 13, т.е. упорядоченный набор чисел 8,1,1,13, 2 является решением рассматриваемой системы уравнений. •

Разрешенная система уравнений всегда совместна. Если все неизвестные разрешенной системы уравнений образуют набор разрешенных неизвестных, то она имеет единственное решение. В противном случае разрешенная система уравнений имеет бесчисленное множество решений.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |