Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

2.4. метод гаусса построения общего решения системы линейных уравнений

Общим решением совместной системы линейных уравнений называют равносильную ей разрешенную систему линейных уравнений.

Для отыскания всех решений совместной системы линейных уравнений достаточно найти ее общее решение. Метод построения общего решения совместной системы линейных уравнений называется методом Гаусса.

Общее решение строят из исходной системы уравнений с помощью элементарных преобразований, под которыми понимается любое из следующих действий:

вычеркивание уравнения, у которого все коэффициенты при неизвестных и свободный член равны нулю;

умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число;

замена /-го уравнения системы уравнением, которое получается путем прибавления к /-му уравнению системы ее/'-го уравнения, умноженного на число.

Элементарные преобразования переводят данную систему уравнений в равносильную ей систему.

Пусть дана система линейных уравнений, записанная в табличной форме:

Возьмем любой отличный от нуля коэффициент яга системы уравнений. Жордановым преобразованием системы с ведущим элементом яга Ф О называется совокупность следующих преобразований:

1) умножение г-ж строки системы (2.2) на число 1/я :

2) прибавление к первой строке таблицы (2.3) ее r-й строки, умноженной на -аь, прибавление ко второй строке r-й строки, умноженной на -аъ, и т.д. После этих преобразований система уравнений (2.3) принимает вид

В результате жорданова преобразования с ведущим элементом ага получим систему (2.4), у которой неизвестное х является разрешенным.

Если проделать одно или несколько жордановых преобразований над данной системой, то получим систему, равносильную исходной.

О Пример. Выполнить жорданово преобразование системы уравнений

2х1 + 7х2 + 4х3 + х4 = 6, < Зх1 + 5х2 + 2хг + 2х4 = 4, 4х1 + Ах2 + х3+ 1хА - 2 с ведущим элементом а2у

51

 

(2.5)

 

Теперь из первого и третьего уравнений системы (2.6) исключим неизвестное Ху Для этого к первой строке прибавим вторую строку, умноженную на -4, а к третьей строке — вторую строку, умноженную на -1. После выполнения этих преобразований получим систему уравнений

х1

Х2

*4

 

-4

-3

0

-3

-2

3/2

5/2

1

1

2

5/2

3/2

0

6

0

 

 

(2.7)

Таким образом, в результате жорданова преобразования с ведущим элементом а23 = 2 система (2.5) преобразовалась в систему уравнений (2.7). •

Преобразование совместной системы уравнений

*1

Х2

 

Хп

 

ап

а2

 

а1п

 

а21

а22

 

й2п

ь2

ат1

ат2

 

атп

К

 

 

(2.8)

в общее решение методом Гаусса состоит из последовательных шагов, причем перед выполнением очередного шага надо в системе уравнений вычеркнуть все тривиальные уравнения.

1-й шаг. Выберем в первом уравнении любой отличный от нуля коэффициент при неизвестном и выполним жорданово преобразование системы (2.8) с этим ведущим элементом.

52

На к-м ш а г е, к - 2, 3,осуществляем жорданово преобразование системы, полученной после выполнения предыдущего шага, с любым ненулевым коэффициентом к-то уравнения этой системы. После выполнения к-то шага получим систему, содержащую не менее к уравнений, причем каждое из первых к уравнений будет содержать разрешенное неизвестное.

Если полученная после к-то шага система содержит ровно к нетривиальных уравнений, то процесс преобразований прекращают. Если же эта система содержит более к нетривиальных уравнений, то необходимо выполнить (к + 1)-й шаг. Не более чем через тп шагов {тп — число уравнений в системе (2.8)) получим общее решение системы (2.8).

О Примеры.

1. Найти общее решение системы уравнений

З.Х2      ^3 =

 

Зх^ + Х2        — 8,

ІЗХ2 — 3*^3 = ^*

Запишем эту систему в виде таблицы и будем выполнять шаги до тех пор, пока процесс преобразования не закончится:

 

Х2

 

 

 

*1

Х2

хг

 

 

-3

ш

3

 

2

-3

1

3

 

0

-1

3

ш

-3

0

6

1

0

8

 

3

1

0

8

 

13

-3

8

 

6

4

0

17

 

х1

х2

хъ

 

 

xi

х2

хъ

 

0

-1

1

-1

 

0

0

1

-1/2

1

-1

0

2

—>

1

0

0

5/2

0

ш

0

2

 

0

1

0

1/2

0

10

0

5

 

0

0

0

0

Приходим к общему решению: хг = -1/2, ху = 5/2, х2 = 1/2. Эта система обладает единственным решением; следовательно, исходная система оказалась определенной.

 

53

2. Найти общее решение системы уравнений 2х1 + 7х2 + Зх3 +  х4 - 6, ' 3xj + 5х2 + 2х3 + 2х4 = 4, 9х1 + 4х2 + х3 + 7х4 = 2.

Имеем:

 

*1

*2

*4

 

2

7

3

ш

6

3

5

2

2

4

9

4

1

7

2

 

*1

х2

хъ

*4

*1

х2

хъ

*4

 

2

7

3

1

6

0

-11

-5

1

-10

-> ED

-9

-4

0

-8 ->

1

9

4

0

8

-5

-45

-20

0

-40

0

0

0

0

0

Общее решение исходной системы имеет вид

{

-1 х2 - 5х3 + х4 = -10, хх + 9х2 + 4х3       =8. •

Методом Гаусса можно не только построить общее решение совместной системы, но и установить, является ли исходная система уравнений совместной.

О Пример. Установить, является ли система уравнений

 

< 4xj - 2х2 + 5х3 +   х4 + 7х5 = 2, 2ху — х2 ■+■ х3 + 8x4 + 2xg = 1

совместной.

Преобразуем систему уравнений методом Гаусса:

*1

Х2

хъ

*4

х5

 

-2

1

0

-13

-1

-11

0

0

1

-5

1

-4

0

0

0

0

0

-6

Получена система уравнений, которая содержит противоречивое уравнение Oxj + 0х2 + 0х3 + 0х4 + 0х5 = -6. Следовательно, исходная система уравнений несовместна. •

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |