Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

2.14. ортогональные системы векторов

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, а система векторов ортогональна, если векторы этой системы попарно ортогональны.

О Пример. Система векторов ех - (1, 0,0), е2 - (0, 1,0), еп - (0, 0,1) ортогональна. •

Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Исходя из линейно независимой системы векторов Хр хт+1 можно построить ортогональную систему ненулевых векторов У\>    Ут+іпо следующим формулам:

Уі=хі>

y,Xj

Уг = ——Уі + х2> УіУі

 

„      _    Ухт+1 „     У2хт+1 „    Утхт+1 „    , „

 

Приведенный способ построения ортогональной системы векторов yvy2, ут+1 по заданной линейно независимой системе xv х2,хт+1 называется процессом ортогонализации системы векторов xvx2,...,xm+r

О Пример. Построить ортогональную систему векторов путем ортогонализации линейно независимой системы х1 - (1, 1, 1, 0), х2 = (0, 1,1,1), х3 = (0, 0, 1, 1).

66

Строим систему векторов yv у2, у у ^=^ = (1,1,1,0),

У      Шу +х    (-2/3)0,1,1,0) + (0,1,1,1) = (-2/3,1/3,1/3,1),

у = -Шу _т_у+х (_1/3)аі;і,о_

УУ УгУг

- (4/5Х-2/3,1/3,1/3,1) + (0,0,1,1) = (1/5, - 3/5,2/5,1/5). •

Система векторов называется ортонормированной, если векторы этой системы попарно ортогональны и имеют длину, равную единице. Если Хр    хп — ортогональная система ненулевых векторов, 1 1

тО|—гХІ5 |—гх„ — ортонормированная система векторов.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |