Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

2.20. векторно-матричная форма записи системы линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений

аПх1 + аУ1х2 + - + а1пхп ~ К

^гЛ + а22х2 + ■•■+ ^и*» =

лт2л2

 

ат1х1 + а„лХ, +... + а„„х„ - Ь„

и введем следующие обозначения:

а

"12

'лп

А =

^21 °22

*2п

 

X =

ъ =

ь2

ат1

 

xnJ

*т2    ••■ umnJ

Матрицу А называют матрицей системы линейных уравнений; х — вектор-столбец неизвестных, а Ъ — вектор-столбец свободных членов.

Так как столбцов у матрицы А ровно столько, сколько координат у вектор-столбцах, то определено произведение

аПх1    а2х2 •

. + а1пх„

Ах =

^21^1    ^22^2    **" ^ItP^fi

 

amxl + ат2х2 + ••• + атпхп J

Теперь систему линейных уравнений можно записать в виде одного векторного равенства Ах - Ъ.

 

2.21. Обратная матрица

Квадратная матрица

(1 О О 1

 

О О

0> О

 

1

называется единичной и обозначается через Е.

 

 

73

 

Квадратная матрица А называется обратимой, если можно подобрать такую матрицу В, что АВ -ВА-Е. Матрица В называется обратной для матрицы А.

Матрица называется невырожденной, если ее столбцы линейно независимы.

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Обратимая матрица имеет только одну обратную матрицу, которую обозначают через Л-1.

Квадратная матрица Л порядка и обратима тогда и только тогда, когда каждая из и систем линейных уравнений АХ- Е1, АХ- Е2, АХ- Е" имеет единственное решение, где Е1, Е2,Е" — столбцы

единичной матрицы, а X =

вектор-столбец, координатами

 

XnJ

которого являются неизвестные хх, х2,хп.

Если матрица Л обратима, то единственное решение системы уравнений АХ- Е i= 1,2,и, совпадает с і-м столбцом матрицы Л-1.

Для определения элементов матрицы А'1 необходимо решить я систем линейных уравнений с и неизвестными. Так как эти системы отличаются только набором свободных членов, то их можно решать параллельно в одной таблице.

О Пример. Найти обратную матрицу Л-1, если

' 1   О -О Л=   2   3 2 -1   1 2

единственное решение системы уравнений АХ- Е2

 

Таким образом,

Свойства обратной матрицы:

 

2.22. Транспонирование матрицы

 

Наряду с матрицей Л часто приходится рассматривать матрицу, столбцами которой являются строки матрицы А. Эту матрицу называют транспонированной к А и обозначают через Л' или АТ.

О Пример. Транспонированной к матрице

1   О -1Л

Л =

2 3

является матрица

 

А1 =

 

О -1 2^

3

3

75

Свойства операции транспонирования (к — число):

Г. (Akf = kAT.

V. (А + ВУ=АТ + ВГ.

3°. (АВ)Т = ВТАТ.

4 (АТ)Т=А.

5°. Если А — обратимая матрица, то

(А-1)т=(Ат)-

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |