Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

2.26. разложение определителя по строке и столбцу

Рассмотрим алгебраическую сумму всех правильных произведений квадратной матрицы А п-то порядка, содержащих множителем элемент а.к, вынесем этот общий множитель за скобки и выражение, оставшееся в скобках, обозначим через А.к. Выражение Aik называется алгебраическим дополнением элемента ajk в определителе матрицы А

В матрице А вычеркнем /-ю строку иу'-й столбец. Определитель полученной матрицы (и - 1)-го порядка называют минором элемента а ■■ в определителе матрицы А и обозначают через М...

Алгебраическое дополнение А., равно соответствующему минору My, умноженному на (-1)г+у:

Справедливы следующие равенства:

deU = ИГЧЛі +.» + + - + ("!) аіпМіп>

deU = (-1)1+уа1уМу + - + (-l)i+JayMij + - + (-^Л Равенство (2.20) называется разложением определителя матрицы А по элементам г'-й строки, а равенство (2.21) — разложением по элементам j-то столбца.

о

4

2 0

0

3

о 1

Формулы (2.20) и (2.21) можно использовать для вычисления определителей матриц.

Ґ1

О Пример. Вычислить определитель матрицы

Разлагая определитель по элементам третьего столбца, получаем

79

2.27. Свойства определителей. Вычисление определителей

Г. Определитель матрицы не изменяется при ее транспонировании.

2°. Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя этой матрицы:

її

"1л

11 "12

1л

кап кап

ка,.

= к

"лі     "и2    •"    "лл         "лі "и2

3°. Если все элементы г'-й строки матрицы я-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых а~ - bj + c.,j - 1,2,и, то определитель этой матрицы равен сумме определителей матриц, все строки которых, кроме /-й, такие же, как и в данной матрице, а /-я строка у одной из матриц состоит из элементов Ъ., а у дру-

гой

из элементов е.:

"12

"1и

"11 "12

«1я

"11 "12

«1и

q + q  Ьг + с2

q q.

*л1

42

"иі "л2

ии1 "л2

Аналогичное свойство справедливо и в том случае, когда элементы некоторого столбца матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых.

4°. Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки столбца, равен нулю.

5°. Определитель матрицы не изменится, если к i'-й строке (столбцу) матрицы А прибавить ееу-ю строку (столбец), умноженную на число.

Если в матрице й-го порядка имеется строка (столбец), все элементы которой, кроме одного, равны нулю, то вычисление определителя матрицы я-го порядка сводится к вычислению единственного определителя матрицы (я - 1)-го порядка.

80

Используя свойство 5° определителей матриц, можно, не изменяя величины определителя, преобразовать данную матрицу так, чтобы в выбранной строке (столбце) все элементы, кроме одного, обратились в нуль.

О Пример. Вычислить определитель матрицы (-2     5-1 3>

А =

-9 13 7 3-1 5-5

18   -7 -10

Прибавляя к первой строке удвоенную вторую, к третьей — вторую, умноженную на -3, а к четвертой строке — вторую, умноженную на -2, имеем

-13 25 17 26 -34 -26 36   -33 -24

Получен определитель матрицы третьего порядка, который можно вычислить либо непосредственно, либо сведя его к вычислению определителя матрицы второго порядка. Имеем

25 -17 1

2

-17 1

-13 25 17 26 -34 -26 36   -33 -24

-13 13 10

0 13

2-4

10

25 -17 -33 8

-17 1 0 9 -3

17 -13 -24 4 -13 2 1

-13 2

Итак, А = 1032. •

= 8(-39-90) = -1032.

81

6°. Определитель матрицы А равен нулю тогда и только тогда, когда столбцы или строки матрицы А линейно зависимы.

7°. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей:

АВ = А-Ц.

2.28. Системы линейных уравнений с квадратной матрицей

Рассмотрим систему линейных уравнений, записанную в век-торно-матричной форме:

Ах = Ъ, (2.22)

где А — квадратная матрица.

Если определитель матрицы А отличен от нуля (т.е. А Ф 0), то система уравнений (2.22) имеет единственное решение, которое находят по формулам Крамера

xx = djd,    x2 = d2/d,      xn = djd,

где определитель d. получен из определителя d = А заменой у'-го столбца на столбец Ъ свободных членов системы уравнений.

О Пример. Решить систему уравнений Ах = Ъ, где А =

Определитель матрицы системы

1

= 3*0

и, значит, можно найти решение системы по правилу Крамера. Имеем

= 3.

d2 =

= 12,

3 -1 6 2

ОтсюдаXj = dx/d-А,    х2-d2/d- 1. •

Если А Ф 0, то матрица Л обратима. Умножая обе части уравнения (2.22) слева на матрицу^-1, получаем

х=А~1Ь. (2.23)

Формула (2.23) представляет собой векторно-матричную форму записи формул Крамера.

82