Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

2.26. разложение определителя по строке и столбцу

Рассмотрим алгебраическую сумму всех правильных произведений квадратной матрицы А п-то порядка, содержащих множителем элемент а.к, вынесем этот общий множитель за скобки и выражение, оставшееся в скобках, обозначим через А.к. Выражение Aik называется алгебраическим дополнением элемента ajk в определителе матрицы А

В матрице А вычеркнем /-ю строку иу'-й столбец. Определитель полученной матрицы (и - 1)-го порядка называют минором элемента а ■■ в определителе матрицы А и обозначают через М...

Алгебраическое дополнение А., равно соответствующему минору My, умноженному на (-1)г+у:

 

Справедливы следующие равенства:

Подпись: (2.20) (2.21)deU = ИГЧЛі +.» + + - + ("!) аіпМіп>

deU = (-1)1+уа1уМу + - + (-l)i+JayMij + - + (-^Л Равенство (2.20) называется разложением определителя матрицы А по элементам г'-й строки, а равенство (2.21) — разложением по элементам j-то столбца.

о

4

2 0

0

3

о 1

Формулы (2.20) и (2.21) можно использовать для вычисления определителей матриц.

Ґ1

 

О Пример. Вычислить определитель матрицы

Разлагая определитель по элементам третьего столбца, получаем

2 1 1 2

 

 

79

2.27. Свойства определителей. Вычисление определителей

Г. Определитель матрицы не изменяется при ее транспонировании.

2°. Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя этой матрицы:

Подпись: а.Подпись: а.Подпись: «1її

"1л

11 "12

 

кап кап

ка,.

= к

 

 

"лі     "и2    •"    "лл         "лі "и2

3°. Если все элементы г'-й строки матрицы я-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых а~ - bj + c.,j - 1,2,и, то определитель этой матрицы равен сумме определителей матриц, все строки которых, кроме /-й, такие же, как и в данной матрице, а /-я строка у одной из матриц состоит из элементов Ъ., а у дру-

гой

из элементов е.:

 

"12

"1и

"11 "12

«1я

"11 "12

«1и

 

q + q  Ьг + с2

q q.

 

*л1

42

"иі "л2

ии1 "л2

Аналогичное свойство справедливо и в том случае, когда элементы некоторого столбца матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых.

4°. Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки столбца, равен нулю.

5°. Определитель матрицы не изменится, если к i'-й строке (столбцу) матрицы А прибавить ееу-ю строку (столбец), умноженную на число.

Если в матрице й-го порядка имеется строка (столбец), все элементы которой, кроме одного, равны нулю, то вычисление определителя матрицы я-го порядка сводится к вычислению единственного определителя матрицы (я - 1)-го порядка.

 

80

Используя свойство 5° определителей матриц, можно, не изменяя величины определителя, преобразовать данную матрицу так, чтобы в выбранной строке (столбце) все элементы, кроме одного, обратились в нуль.

О Пример. Вычислить определитель матрицы (-2     5-1 3>

А =

 

-9 13 7 3-1 5-5

18   -7 -10

Прибавляя к первой строке удвоенную вторую, к третьей — вторую, умноженную на -3, а к четвертой строке — вторую, умноженную на -2, имеем

-13 25 17 26 -34 -26 36   -33 -24

Получен определитель матрицы третьего порядка, который можно вычислить либо непосредственно, либо сведя его к вычислению определителя матрицы второго порядка. Имеем

Подпись: -13 13 36
о
13
Подпись: = 2
Подпись: 17 -13 2Подпись: = 2
Подпись: = 2
Подпись: 10
0 13 10
Подпись: 1
-13 2
Подпись: 8

25 -17 1

2

-17 1

-13 25 17 26 -34 -26 36   -33 -24

-13 13 10

0 13

2-4

10

25 -17 -33 8

-17 1 0 9 -3

17 -13 -24 4 -13 2 1

-13 2

 

Итак, А = 1032. •

= 8(-39-90) = -1032.

 

 

81

6°. Определитель матрицы А равен нулю тогда и только тогда, когда столбцы или строки матрицы А линейно зависимы.

7°. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей:

АВ = А-Ц.

 

2.28. Системы линейных уравнений с квадратной матрицей

Рассмотрим систему линейных уравнений, записанную в век-торно-матричной форме:

Ах = Ъ, (2.22)

где А — квадратная матрица.

Если определитель матрицы А отличен от нуля (т.е. А Ф 0), то система уравнений (2.22) имеет единственное решение, которое находят по формулам Крамера

xx = djd,    x2 = d2/d,      xn = djd,

где определитель d. получен из определителя d = А заменой у'-го столбца на столбец Ъ свободных членов системы уравнений.

 

 

 

 

(г Л

х1

 

'3'

а

 

, х =

, ь =

 

2,

 

 

 

,6,

О Пример. Решить систему уравнений Ах = Ъ, где А =

Определитель матрицы системы

 

1

 

= 3*0

и, значит, можно найти решение системы по правилу Крамера. Имеем

= 3.

d2 =

= 12,

3 -1 6 2

ОтсюдаXj = dx/d-А,    х2-d2/d- 1. •

Если А Ф 0, то матрица Л обратима. Умножая обе части уравнения (2.22) слева на матрицу^-1, получаем

х=А~1Ь. (2.23)

Формула (2.23) представляет собой векторно-матричную форму записи формул Крамера.

82

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |