Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

2.29. собственные векторы и собственные значения матрицы

Число X называется собственным значением (или характеристическим числом) квадратной матрицы А порядка п, если можно подобрать такой и-мерный ненулевой вектор х, что Ах = Хх.

«1« «2л

«п

«21

Множество всех собственных значений матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения А - ХЕ = О, где X — независимая переменная. Если раскрыть определитель А - ХЕ, то получится многочлен и-й степени относительно X:

X

— X

А - ХЕ =

 

«лл

"лі "л2

= апХ" + ап_хХп~х +... + ахХ + а„.

Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А. Его коэффициенты ап, ап1, ...,а0 зависят от элементов

матрицы А. Отметим, что ап = (-1)", а0 = А. Уравнение А - ХЕ = О называется характеристическим уравнением матрицы А.

Ненулевой вектор х называется собственным вектором квадратной матрицы А, принадлежащим ее собственному значению X, если Ах = Хх.

Множество всех собственных векторов матрицы А, принадлежащих ее собственному значению X, совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений (А - ХЕ)х = О, записанной в векторно-матричной форме.

О Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

<   ( 1 А А =

1-1   4 J

= Х2-5Х + 6 = 0.

А-ХЕ =

Запишем характеристическое уравнение матрицы: 1-Х 2 -1 4-Х

Его корни Хх - 2, Х2 - 3 являются собственными значениями матрицы А. Найдем собственные векторы, принадлежащие найденным собственным значениям. Собственный вектор, принадле-

83

жащий собственному значению Х1 - 2, является ненулевым решением системы

(А - 2Е)х =

или

 

*2J

М 2Л(х^

-1 2

= о,

■Ху + 2х2 = 0, Ху + 2х2 = 0.

(2Л

Тогда Xj = 2, х2 = 1 — ненулевое решение и, значит, собственный вектор.

 

— искомый

Аналогично находим собственный вектор

матрицы А, при-

надлежащий собственному значению А,2 = 3. •

Число различных собственных значений квадратной матрицы не превышает ее порядка.

Собственные векторы квадратной матрицы, принадлежащие ее различным собственным значениям, линейно независимы.

Ортогональная матрица может не иметь действительных собственных значений, в то время как симметрическая матрица всегда имеет действительное собственное значение.

Собственные векторы симметрической матрицы, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |