Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

2.30. приведение квадратной матрицы к диагональному виду

Матрица А называется подобной матрице В, если найдется такая невырожденная матрица Т, что В - Т~1АТ. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают и, значит, подобные матрицы имеют одни и те же собственные значения.

Если матрица А подобна диагональной матрице В - Т~1АТ, то говорят, что матрица Т приводит матрицу А к диагональному виду. Числа A,j, Х2,, стоящие на главной диагонали матрицы В, являются собственными значениями матрицы А, а /-й столбец матрицы Т — собственным вектором матрицы А, принадлежащим собственному значению "К., і - 1, 2,п.

Квадратная матрица А порядка и тогда и только тогда приводится к диагональному виду, когда у матрицы А имеется п линейно незави-

84

симых собственных векторов. Матрица Т, столбцами которой служат координаты этих собственных векторов, приводит матрицу А к диагональному виду. Этот критерий, в частности, выполняется, когда у матрицы порядка и имеется и различных собственных значений.

Для каждой матрицы А можно построить такую матрицу В, у которой все собственные значения различны, а ее элементы отличаются по абсолютной величине от элементов матрицы А не более чем на є, где є — наперед заданное сколь угодно малое положительное число.

Правило построения матрицы Т, приводящей матрицу А порядка п к диагональному виду В:

Находят все собственные значения матрицы А.

Для каждого собственного значения ищут фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений (А-ХіЕ)х = 0.

Строят матрицу Т, столбцами которой являются координаты решений всех найденных фундаментальных систем.

Если полученная матрица Т является квадратной, то она приводит матрицу А к диагональному виду. Если же матрица Т не будет квадратной, то матрица А не может быть приведена к диагональному виду.

О Пример. Выяснить, приводится ли к диагональному виду матрица

2   -1 -1

А =

-3     2 0 , 4    2 4^ Вычислим характеристический многочлен матрицы:

А-ХЕ =

2-Х -3 1

-1 2-Х 4-Х

0

Х-2 0

2-Х -3 4

(2-Я.)

-1 2-Х 2

2-Х 1

2-Х    -1 -1 -3    2-Х 0 4       2 4-Х Сначала из третьего столбца вычтем второй, а затем к третьей строке прибавим вторую:

0

А-ХЕ =

(2-Х)(Х-3)2

Х-2 2-Х

-1 4-Х

85

Собственные значения матрицы А равны 2 и 3.

Теперь надо найти фундаментальные системы решений систем уравнений (А - 2Е)х - О и {А - ЪЕ)х - 0. Фундаментальная система решений первой системы уравнений состоит из одного решения (0, -1,1), а второй — из одного решения (1, -3,2). Следовательно, матрица Г имеет вид

 

 

ґ 0

 

т =

-1

-3

 

, 1

2,

Эта матрица не является квадратной, поэтому матрица А не приводится к диагональному виду. •

Для каждой симметрической матрицы существует такая ортогональная матрица Q, что Q~lAQ — диагональная матрица. Построение ортогональной матрицы Q осуществляется следующим образом:

строят невырожденную матрицу Т, которая приводит матрицу А к диагональному виду;

подвергают столбцы найденной матрицы Гпроцессу ортогонализации (см. п. 2.14), а затем нормируют полученные векторы;

строят ортогональную матрицу Q, столбцами которой являются координаты полученной ортонормированной системы векторов.

 

2.31. Положительные матрицы

Положительным вектором называется вектор, все координаты которого положительны.

Положительной матрицей называется матрица, все элементы которой положительны.

Свойства собственных значений и собственных векторов положительной матрицы Л:

Г. Имеется такое собственное значение X* > 0 матрицы^, что X* >   для любого собственного значения.

2°. Для всех |j. > X* матрица iE - А невырождена, а матрица (iE-Ay1 положительна.

3°. Собственный вектор х*, принадлежащий собственному значению X*, положителен.

4°. Кроме х* не существует собственных векторов с неотрицательными координатами.

86 2.32. Квадратичные формы

Переход от системы и неизвестных хр х2, хп к системе и неизвестных yv у2, —,уп по формулам

*2 = Wl + *22\% + - + ЬпУн'

(s~ — числа при всех i,j)

 

x„=snlyl+sn2y2 + ... + snnyn,

называется линейным преобразованием неизвестных, которое в век-торно-матричной форме имеет следующий вид:

x = Sy,

где

х=(х15х2, ...,хп),    y = (yvy2, -,Уп),

Jll л12

421 Л22

 

... s.

 

«2

Матрица S называется матрицей линейного преобразования неизвестных. Если S невырождена, то линейное преобразование неизвестных также называется невырожденным.

Квадратичной формой Q(xv х2,     хп) от п неизвестных xv х2,

хп называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

Обозначим коэффициент при х2 через а.., а коэффициент при произведении х(хк = х^х. (і Ф к) через ajk + аш, причем ajk = аш. Член (аік + ак)х(хк запишем в виде aikx,xk + а^х^. Теперь квадратичную форму Q можно представить в следующем виде:

Q{xx, х2,хп) — йцХ^ + аХ2ххх2 +... + &пХХп + •••

и л

... + апХхпхх + ап2хпх2 +... + ашх = •

1=1 у=1

Симметрическая матрица А = (ау) называется матрицей квадратичной формы Q.

87

О Пример. Написать матрицу квадратичной формы

Q = 2х - 5*2 + 8д^ + 4xjX2 - 2xjX3 + 6х2ху

Здесь ап — 2, а22 — —5, а33 — 8, а12 — л21 — 2, а13 — а31 — —1, д23 — д32 — 3. Следовательно,

f 2    2 -О

2 -1

В векторно-матричной форме квадратичная форма имеет вид Q = хАх, где х = (xv х2,хп). Если в квадратичной форме Q = хАх неизвестные подвергнуть линейному преобразованию х = Sy, то получится квадратичная форма Q = y(STAS)y с матрицей SFAS.

Рангом квадратичной формы Q=хАх называется ранг матрицы А. Ранг квадратичной формы не изменяется при невырожденных преобразованиях неизвестных.

Для каждой квадратичной формы Q = хАх можно подобрать такое линейное преобразование неизвестных х = Sy с ортогональной матрицей S, что матрица квадратичной формы Q = y^AStyy будет диагональной.

Если Q(x) > 0 (< 0) для всех х Ф 0, то квадратичная форма Q(x) называется положительно (отрицательно) определенной.

Если квадратичная форма Q(x) положительно определена, то форма -Q(x) отрицательно определена.

Квадратичная форма Q(x) = хАх положительно (отрицательно) определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы А положительны (отрицательны).

Если А = (о..) — квадратная матрица, то определители

 

k — lj   '" з

*kk

называются главными или угловыми минорами матрицы А.

Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры нечетного порядка были отрицательны, а все главные миноры четного порядка — положительны.

88 2.33. Применение аппарата линейной алгебры для анализа балансовых моделей

Рассматривается экономическая система, состоящая из п отраслей. Обозначим через х = (xv х2, хп) вектор валовой продукции системы, а через у = (yv у2,уп) — вектор ее конечной продукции. Тогда система уравнений материального баланса при условии линейности функций производственных издержек имеет вид

п

 

или в векторно-матричной форме

(Е-А)х=у. (2.24) Матрицу А = (а.р называют матрицей затрат или технологической матрицей; Е — единичная матрица.

Коэффициенты а., называют коэффициентами прямых затрат; они представляют собой затраты продукции /-й отрасли на изготовление единицы валовой продукцииу'-й отрасли. Будем считать, что а.. = const. Уравнение (2.24) называется моделью Леонтьева.

Одна из задач планирования состоит в том, чтобы при заданном векторе у конечного продукта определить необходимый вектор х валовой продукции.

Матрица А называется продуктивной, если существует неотрицательный вектор х°, для которого х° > Ах°.

Если матрица А продуктивна, то система уравнений (Е - А)х=у имеет единственное неотрицательное решение при любом у > О, которое можно записать в виде х = (Е- А)~1у.

Элементы а., матрицы А определяют те количества промежуточного продукта, которые необходимы для производства единицы валового продукта каждой отрасли.

Элементы матрицы А2 = (аФ) называют косвенными затратами

первого порядка. Величина с(У — это количество /-го промежуточного продукта, которое необходимо для производства всех материалов, используемых для производства единицы у'-й продукции.

Аналогично элементы матриц А3 = (аФ), Ak+l = (ajp) называют косвенными затратами второго и следующих порядков.

Величину полных материальных затрат /-го продукта на производство единицы валовой продукции у'-й отрасли определяют по формуле

89

сіГ av + ау + - + ау + -  ^ =   2' •"'й)' если, конечно, бесконечные ряды сходятся.

Элементы с.j определяют матрицу полных затрат С, причем

С=А+А2 + ...+Ак+....

Отметим, что х-Су+у. Отсюда следует, что величины с~ представляют собой те количества промежуточного продукта г'-го вида, которые необходимы для выпуска одной единицы конечной продукции у'-й отрасли.

2.34. Динамическая модель планирования

В модели Леонтьева (см. п. 2.33) предполагается, что процесс производства совершается мгновенно. Временные лаги (задержки, отставания) в процессе производства учитывают с помощью моделей динамического межотраслевого баланса.

Разобьем промежуток планирования на Т периодов (недель, месяцев, лет). Обозначим через х' = (х[, х'2,х'п) вектор валовой продукции, произведенной в конце t-то периода. С помощью набора продуктов х' в {t + 1)-м периоде осуществляется производство набора продуктовxf+1. Последовательность {х1, х2,хт} называют траекторией развития производства. Так как вектор х'+1 не определяется однозначно вектором х', то имеется много различных траекторий развития производства. Каждая траектория развития производства является решением системы неравенств:

Axt+1<x',  t = 0,1,2,Т-1,

Xі > 0,  t= 1, 2,Т,

где А — технологическая матрица.

 

2.35. Линейная модель производства

Производственный процесс может быть задан вектором (х, г), где х — вектор выпуска продукции, г — вектор затрат, соответствующий выпуску X.

Модель производства будет построена при следующих предположениях:

1) если вектор (х, г) технологически допустим, то вектор (кх, кг), к>0, который описывает увеличенный в к раз выпуск продукции

90

при одновременном увеличении затрат в такое же число раз, также технологически допустим;

если (xv гг) и (х2, г2) — технологически допустимые векторы,

ТО ТеХНОЛОГИЧеСКИ ДОПУСТИМЫМ ЯВЛЯеТСЯ ВеКТОр (jCj + х2, гх + г2);

существует конечное число основных производственных процессов, описываемых векторами Аг - (xv rj, А2 - (х2, г2),

Ап - (хп, гп), причем каждый происходящий производственный процесс и = (х, г) является линейной комбинацией этих векторов с неотрицательными коэффициентами, т.е.

" = І>,4, z(>o.

Коэффициенты Zj этого разложения называются интенсивно-стями основных производственных способов.

Векторы Ар —,Ап основных производственных способов служат параметрами производственной системы, а неотрицательный вектор их интенсивностей z — (zv zn) является характеристикой внутреннего состояния системы.

Если в производственной системе используется т видов производственных ресурсов, имеющиеся запасы ресурса / ограничены объемом Ь., і =1,2,т, и а„ — затраты ресурса і при использовании у'-й технологии с единичной интенсивностью, то модель производственной системы имеет следующий вид:

п

^ayZj<bj (і = 1,2,..., т), М   Zj>0   (у = 1,2,..., и).

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |