Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

Раздел iii n-mephoe пространство r" 3.1. точки в n-мерном пространстве. расстояние между точками

Последовательность п действительных чисел хр х2,хп называют n-мерной точкой M(xv х2,хп), а сами числа xv х2, ...,хп — координатами точки М.

Множество всех и-мерных точек составляет n-мерное пространство R".

Например, М(1;2; -3; 4) и N(3; 10; -у/2; 3) — точки четырехмерного пространства R4, т.е. М є R4, Ne R4.

Расстоянием между точками M(xv х2, хп) и N(yv у2, уп) называют число

рШ, Ю =      - Уі? + (х2 - у2)2 +... + (х„ - уп)2 = jti^-yf.

Например, если М(2; 3; -4; 6), N(1; 2; -1; 1), то

р(М, N) = уІ(2 -1)2 + (3 - 2)2 + (-4 +1)2 + (6 -1)2 = 6.

Свойства расстояния в и-мерном пространстве:

Г. р(М, N) = p(N, М).

Т. p(M,N)>0,    p(M,N) = 0^M=N.

3°. р(М, N) < р(М, L) + p(L, N).

Если даны две точки M(xv х2,хп) и N(yv у2,уп) в пространстве R", то можно рассмотреть вектор

MN = {уу - х1, у2 - х2,    уп - хп).

При этом длина вектора MN совпадает с расстоянием р(М, N),

т.е. MN = р(М, N).

Вектор ОМ, где О(0; 0; ...; 0), называют радиусом-вектором точки М,

 

92

3.2. Окрестность точки в л-мерном пространстве

Если г — некоторое положительное число, то г-окрестностью Sr(MQ) точки М0 в и-мерном пространстве R" называют множество всех точек Af є R" таких, что p(Af, MQ) < г, т.е.

Sr(M0) = {MeRnpW,M0)<r}.

Например, Му(2; 3; -1; 3) є S2(M0), где М0(1; 2; -1; 2), так как p(Mv М0) = ч/з < 2, а М2(3; 3; -1; 3) ё S2(M0), так как p(Af2, М0) = = 7б>2.

В пространстве R1 г-окрестность точки М0(а) — это интервал ]а - г, а + г[.

В пространстве R2 г-окрестность точки М0(а, Ь) — это внутренность круга радиуса г с центром в точке М0(а, Ь).

В пространстве R3 r-окрестность точки MQ(a, b, с) — это внутренность шара радиуса г с центром в точке MQ(a, b, с).

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |