Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

3.9. бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности

 

Числовая последовательность {осй} называется бесконечно малой, если lim{a„} - 0, т.е. {а } — бесконечно малая последовательность,

Л-»оо

если для любого числа є > 0 можно указать номер Атакой, что при всех и > ^выполняется неравенство |aj < є.

Например, если ср(х), g(x) — многочлены и deg(p(x) < degg(x), то

последовательность       1 является бесконечно малой.

Бесконечно малые последовательности используют при вычислении пределов последовательностей, так как число а является пределом последовательности {xj тогда и только тогда, когда хп = а + ап, где {ап} — бесконечно малая последовательность.

„                  2и2+1   .             2и2 +1   .    1     Г 1

Например, lim        т.— = 2, так как    =— = 2 + и

2        ~, ia» ^"п-        2   2 12

и->~    П     П       п Уп

бесконечно малая последовательность.

Свойства бесконечно малых последовательностей:

Г. Если {an}, {Ри} — бесконечно малые последовательности, то их сумма или разность {осл ± Рл} также последовательность бесконечно малая.

2°. Если {ал} — бесконечно малая, а {xj — ограниченная последовательность, то их произведение {ocnJcn} — последовательность бесконечно малая.

3°. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

98

Числовая последовательность {хп} называется бесконечно большой, если для любого числа А > О существует натуральное число N такое, что при всех и > ^выполняется неравенство xj > А.

Например, еслиf(x), ф(х) — многочлены и degq>(x) > deg/(x), то

последовательность |       і является бесконечно большой. l/(«)J

Если {хп} — бесконечно большая последовательность, то пишут lim{x„} - оо.

Если же {хп} — бесконечно большая последовательность и начиная с некоторого номера все хп положительны (отрицательны), то пишут 1іт{хи} - -и» (1іт{хй} - -оо).

Л-»°° Л-»°°

Свойства бесконечно больших последовательностей:

Г. Бесконечно большая последовательность всегда неограни-чена. Однако не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой.

2°. Последовательность {хп}, хпФ0 является бесконечно большой тогда и только тогда, когда последовательность — беско-

нечно малая.

 

3.10. Арифметические свойства пределов числовых последовательностей

Если последовательность {хп} постоянна, т.е. хп - С - const при всех п, то lim хп - С.

Предположим, что последовательности {хп}, {уп} сходятся. Тогда:

1) сходятся последовательности {хп+уп}, {хпуп}, причем lim(x„ + у„) = Urn хп + lim уп;

■й-

Ііт(^іУц)= Итхл1ітз;л; 2) если lim у Ф О, сходится последовательность — , причем

Л->°о

limx„

]imXlL=n=

п^уп lim^

Л-»°°

99

Отсюда следует, что если последовательность {хп} с х о д и т с я, то:

а)       Мт(Схп) - С lim хп  (С = const);

б)       lim (хп )к - (lim хп )к  (к — натуральное число).

л-»°° л-»«°

Приведенные утверждения часто используют при вычислении пределов числовых последовательностей. В частности, можно показать, что если ф(х), g(x) — многочлены и deg(p(x) = degg(x), то

lim равен отношению коэффициентов при старших степенях »-»-«(л)

многочленов ф(х) и#(х).

,.   Зл2-2л + 8 3

Например, lim        г— = —.

и->~   2 - 4пг 4

3.11. Переход к пределу в неравенствах (для числовых последовательностей)

Имеют место следующие утверждения:

Если последовательности {хп}, {уJ сходятся и при всех номерах п выполняется неравенство х <у , то lim хп < lim уп.

л->°° л^«>

Если при всех и выполняется неравенство хп < уп < zn и lim хп = lim z„ = а, то и lim уп - а.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |