Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

3.12. монотонные последовательности. число е

Числовую последовательность {хп} называют возрастающей (неубывающей), если каждый ее последующий член больше (не меньше) предыдущего: хп+1 > хп (хп+1 > хп).

Числовую последовательность {хп} называют убывающей (невоз-растающей), если каждый ее последующий член меньше (не больше) предыдущего: хп+1 < хп (хп+1 < хп).

Определенные выше последовательности называют монотонными.

Например, |—| — убывающая последовательность, так как ,11        11 [и-1|

1> — >->.„> — >  >    а <        > — возрастающая последова-

2   3        п   п+ [и]

А   1   2        й-1 п

тельность, так как 0 < — < — <... <   <       < ....

2   3   и и+1

100

Основные свойства монотонных последовательностей:

Г. Если числовая последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Л"

Например, последовательность   1 +

п)

возрастающая и

1 + -

ограниченная.

2°. Последовательность

 

следовательности называют числом е:

 

сходится. Предел этой по-

Ґ

е = lim

1 +

(е - 2,718).

 

3.13. Выпуклые множества в л-мерном пространстве

Если M(xv х2,хп) и N(yv у2,уп) — две и-мерные точки, то отрезком [MN] называют множество всех точек P(zv Z2, —, Zn), где

zx = axj + (1 - a)^, Zj_ = ax2 + (1 - a)y2,zn = axn + (1 - a)yn

приО<а< 1.

Таким образом,

[MN] = {PeR"OP = OMa + ON(l - a) при 0 < a < 1}.

О Пример. Даны точки M(l; -2; 3; 4) и N(3; 4; 1; -8).

Точка Р(2; 1; 2; -2) є [MN], так как 2 = a ■ 1 + (1 - a) • З, l = a(-2) + (l-a)-4, 2 = a • 3 +(1-a) • 1, -2 = a-4 + (l-a)(-8) при a = 1/2.

Точка Q(4; 3; 2; -1) g [MN], так как соотношения 4 = a • 1 + + (l-a)-3, 3 = a(-2) + (l-a)-4, 2 = a • 3 + (1-a) ■ 1, -1 = = a • 4 + (1 - a) (-8) одновременно не выполняются ни при каком значении а. •

Множество kb R" называется выпуклым, если вместе с любыми двумя его точками ему принадлежит и отрезок, соединяющий эти две точки, т.е. если Ms V, Ns К, то [MN] с V.

Выпуклыми, например, являются следующие множества:

всё и-мерное пространство R";

{M(x,y)sR2x2+y2<r2};

101

{М(хр х2,хп) є R" | aft + а2х2 + ... + апхп = Ь}

{M(xv х2,хп) є R" | aft + а2х2 +... + апхп < Ь);

г-окрестность любой и-мерной точки.

Свойства выпуклых множеств:

Г. Пересечение конечного числа вьшуклых множеств является выпуклым множеством.

2°. Если точки Мр М2,Мк принадлежат выпуклому множеству VylOP = Х1ОМ1 + Х2ОМ2 +... + 1кОМкпри > О, Я2 > 0, Хк > 0,   A,j + Я2 + ... + к - 1, то точка Р принадлежит множеству V.

Выпуклой оболочкой точек Mv М2,Мк называется множество {Р є R" | OP = llOMl + l2OM2 +... + kOMk, >0,X2> 0, hk>0,  + Я2+ ... + hk= 1}.

Выпуклая оболочка всегда является выпуклым множеством.

Если выпуклое множество содержит точки Мр М2,Мк, то оно содержит и всю выпуклую оболочку этих точек.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |