Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

3.14. крайние точки выпуклых множеств

Точка Р выпуклого множества V в й-мерном пространстве называется крайней, если она не может быть серединой отрезка, концы которого лежат в множестве V, т.е. если не существует точек Mv М2 є V,   Мх Ф М2 таких, что

OP = -OMi+-OM2. 2 2

Например, множество V- {Міх, у) є R2 | |х| < а, у < а, а> 0} имеет четыре крайние точки: Мх{а, а), М2(-а, а), М3(-а, -а), М^а, -а) (рис. 3.4).

102

Выпуклая оболочка и-мерных точек Mv М2,Мк имеет лиіпь конечное число крайних точек и совпадает с выпуклой оболочкой своих крайних точек.

Непустое компактное выпуклое множество в R" имеет крайние точки.

 

3.15. Непрерывные отображения пространства и неподвижные точки

Говорят, что задано отображение / пространства R" в себя {/. R" -> R"), если каждой точке Мє R" поставлена в соответствие определенная точка N=f(M) є R".

Точка М0 є R" называется неподвижной точкой отображения /:R"->R", если/(М0) = М0.

Рассмотрим, например, отображение пространства R2 в себя:

(хр х2) -> (х, 2х2 - 1).

Точки Afj(0; 1), М2(\; 1) являются неподвижными точками этого отображения.

Отображение/: R" —> R" называют непрерывным в точке М0 є R", если для любой последовательности точек пространства R": Mv М2,

Mk,     сходящейся к М0, последовательность/^^), ДМ2), АМк),... сходится k/[Mq).

Отображение/: R" -» R" непрерывно на множестве K(Fc R"), если оно непрерывно в каждой точке этого множества.

Теорема Брауэра. Пусть V— непустое компактное выпуклое множество пространства R", af: R" —> R" — отображение пространства R". Если отображение/непрерывно на множестве Vu/(М) є V для всех Me V, то в множестве Vсуществует неподвижная точка этого отображения.

Отображение/: R" —> R" называется сжимающим, если существует такое положительное число а < 1, что для любых двух точек MvM2s R" выполняется неравенство

p(/(^)^M2))<ap(M15M2).

Рассмотрим, например, отображение пространства R":

(xvx2, ...,xn)^(yvy2,...,yn),

п        п п

где yt = ^aikxk + bj, і = 1, 2,    п. Если ^^afk < 1, то это отобра-

k=    i= к=

жение является сжимающим.

103

Свойства сжимающих отображений:

Г. Сжимающее отображение непрерывно на всем пространстве R".

2°. Сжимающее отображение пространства R" имеет неподвижную точку, и притом единственную.

 

3.16. Точечно-множественные (многозначные) отображения пространства R"

Пусть V— некоторое непустое множество в R", a P(V) — множество всех подмножеств V.

Отображение F: F—> P{V) называют точечно-множественным (многозначным) отображением множества V. Это отображение каждой точке Me Fставит в соответствие одно вполне определенное непустое подмножество F(M) множества V.

Точка MQ е V является неподвижной точкой точечно-множественного отображения F: V-> P(V), если М0 е F(M0). Например, если V= {а, Ъ, с} е R1, то соответствие а -> {с}, Ь —> {а, Ь}, с —> {Ь, с) определяет точечно-множественное отображение. Точки Ъ и с являются неподвижными точками этого отображения.

Точечно-множественное отображение F: К—» P(V) называется замкнутым в точке М0 е V, если из сходимости последовательности точек множества V: Mv М2,Мк,... к точке MQ следует сходимость любой последовательности Nv N2,Nk,где Nk е F(Mk), к некоторой точке из множества F(M0).

Теорема Какутани. Пусть V— компактное выпуклое множество в пространстве R", a F: К—> P(V) — точечно-множественное отображение, удовлетворяющее следующим условиям;

а)       для любой точки М е Vмножество F(M) является непустым

выпуклым подмножеством V;

б)       отображение F замкнуто в любой точке множества V. Тогда

отображение F имеет неподвижную точку.

 

3.17. Подпространства пространства R"

Множество Р в пространстве R" называется подпространством этого пространства, когда выполняются следующие условия:

еслиМе Р,   NeP и JXL = ОМ + ON,TonLe Р;

если Me Р и ОЬ = к-ОМ, где к — некоторое число, то LeP.

104

Любое подпространство пространства R" содержит точку О(0; 0;...; 0) и является выпуклым множеством.

Следующие множества являются подпространствами R":

множество, состоящее из одной точки О(0; 0;...; 0);

всё пространство R";

множество решений однородной системы линейных уравнений.

Пересечение подпространств пространства R" само является подпространством этого пространства.

Линейной оболочкой точек Мх, М2, Мк в пространстве R" называется множество всех точек М є R" таких, что

           к      

ОМ = ^XjOMt, 1=1

где Xv Х2,Хк — некоторые числа.

Линейная оболочка всегда является подпространством. Если подпространство Р содержит точки Мр М2,Мк, то оно содержит и всю линейную оболочку этих точек.

В любом подпространстве пространства R" существует конечное число точек, линейная оболочка которых совпадает с этим подпространством (наименьшее число точек с таким свойством называется размерностью подпространства).

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |