Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

3.18. выпуклые конусы в пространстве r"

 

Выпуклое множество К в пространстве R" называется выпуклым конусом, когда выполняется следующее условие:

если точка М є К и  OL = к ■ ОМ, где к > 0, то L е К.

Следующие множества являются выпуклыми конусами в R":

множество всех точек пространства R" с неотрицательными координатами;

любое подпространство пространства R";

К= {M(xv х2, х3) є R31 х + х - х < 0, хъ > 0} (рис. 3.5).

Пересечение выпуклых конусов всегда является выпуклым конусом.

 

105

Рис. 3.5

Выпуклый конус ^называется конечным (многогранным), если существуют точки Mv М2,Мк такие, что

К - |м є R" | ОМ - ^XjOMt, Xt > 0, / = 1,2,*j.

Например, множество решений однородной системы линейных

л

неравенств ^ayXj ^ О, / = 1,2,/и, является конечным конусом вН".

Конечный конус всегда замкнут. Пересечение двух конечных конусов является конечным конусом.

Если К — выпуклый конус в пространстве R", то множество К* - {L є R" | OL ■ ОМ > 0 для всех Ms К} также является выпуклым конусом в R". Конус К* называется сопряженным (двойственным) конусу К.

В частности, если конус К задается однородной системой ли-

л

нейных неравенств   a^Xj < 0, / = 1,2,..., т, то

 

К* = ^Цхих2,...,хп) є R" | Xj = ffyy,; у, > oj.

Свойства сопряженных конусов:

Г. Сопряженный конус К* всегда замкнут. 2°. Конус, сопряженный конечному конусу, сам будет конечным.

3°. Если .К" — замкнутый выпуклый конус, то К** = К. 106 3.19. Суммы выпуклых множеств в пространстве R"

Пусть Ки W— множества в пространстве R". Суммой множеств V+ ^называется множество всех точек Af є R" таких, что

ОМ = OMi + ОМ 2,

гдеА^є V,  М2е W.

Например, суммой множества, состоящего из одной точки Af0 є R2, и прямой / с R2, проходящей через точку О(0; 0), является прямая, проходящая через точку Af0 параллельно прямой / (рис. 3.6).

Свойства суммы выпуклых множеств в пространстве R":

Г. Сумма выпуклых множеств всегда является выпуклым множеством.

2°. Сумма подпространств пространства R" будет подпространством этого пространства.

3°. Сумма вьшуклых конусов в R" является вьшуклым конусом, а сумма конечных конусов — конечным конусом.

Имеют место следующие два утверждения:

1. Множество всех решений системы линейных уравнений

п

Y,auxj =bi> г = 1,2,...,/я

 

107

(если оно не пусто), является суммой множества, состоящего из одной точки, и подпространства пространства R".

2. Множество всех решений системы линейных неравенств

и

 

является суммой выпуклой оболочки конечного числа точек в пространстве R" и конечного конуса.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |