Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

4.3. ограниченные функции

Функция у = f(M), определенная на множестве V, называется ограниченной сверху (снизу), если множество принимаемых ею на V значений ограничено сверху (снизу).

Ограниченность сверху (снизу) функции у = f(M) на множестве К означает существование такого числа к, что для всех точек Мє ^выполняется неравенствоf(M) < к  (f(M) > к).

Функция у = f(M) называется ограниченной на множестве V, если она ограничена на этом множестве и сверху, и снизу.

В частности, если Кявляется окрестностью некоторой точки М0, т.е. V= Sr(M0) - {Me R" I p(M, MQ) < г), то говорят об ограниченности функции у -ДМ) в данной окрестности точки М0.

Если V— область определения D(f) функции у = f(M), то говорят об ограниченности функции в области определения, при этом множество значений E(f) является ограниченным множеством.

Если функция у =f(M) не ограничена сверху (снизу) на множестве V, то существует последовательность {Мк} точек, принадлежащих V(k= 1, 2, 3,...), такая, что

Нт{/(Мк)} = +оо  (lim{f(Mk)} = -о).

 

110

О Примеры.

1.       ФункцияДх) = sinx ограничена во всей области определения

D(f) - ]-°°, +°°[, так как множество ее значений E(f) - [-1, 1] —

множество ограниченное (-1 < sinx < 1) (см. рис. 1.13).

2.       Функция f(M) - —^—J ограничена лишь снизу во всей

Х-^ ~г" Х^

довательность |Affe О(0, 0) и такая, чт

/Шк) - , у 1 , х у = у стремится к +°°. •

области определения D(/) = R2\{(0, 0)}, так как множество ее значений E(f) ограничено только снизу: f(M) > 0. Функция не ограничена сверху в любой окрестности точки (0, 0): существует после-( \

О(0, 0) и такая, что последовательность значений функции 1 к1

+

', к - 1, 2, 3,     сходящаяся к точке

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |