Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

4.7. выпуклые и вогнутые функции

 

Пусть функция у = ДМ) определена на выпуклом множестве

 

Функция у = ДМ) называется выпуклой (вогнутой) на множестве V, если для любых двух точек Мх (Xj, х2,..., хп) и М2(ух, у2,..., уп), принадлежащих V, и для любого действительного числа 0 < а < 1 выполняется неравенство

f(N) < аДМЛ + (1 - а)ДМ2)  (f(N) > аДМЛ + (1 - oc)/(Af2)),

где N(axx + (1 - а)у{, ах2 + (1 - а)у2;...; ахп + (1 - сс)7й).

О Примеры.

Функция Дх) -Xі — выпуклая на R1. Действительно, для произвольных хр х2 є R1 и любого а є [0,1] получим

аДхЛ + (1 - а)/(х2) -/(ocxj + (1 - а)х2) =

= ах2 + (1 - а)х2 - [ocxj + (1 - а)х2]2 =

= а(1 - а)х2 - 2а(1 - a)xtx2 + а(1 - а)х2 =

= а(1-а)(х!-х2)2>0.

Линейная функция ДМ) - OjXj + а2х2 + ... + апхп является одновременно и выпуклой, и вогнутой на всем пространстве R".

Квадратичная функция

ДМ) = апх{ + а22х + ... + атх2 + la^xfa + ... ... + 2а1йх1хй + ... + 2йй_1йхй_1хи

113

является выпуклой (вогнутой) на R" тогда и только тогда, когда она положительно (отрицательно) определена, т.е. принимает неотрицательные (неположительные) значения.

Например, функция f(M) = 2х2 + Их2 + 52х3 + 8xjX2 + 4ххх3 -- 16х2х3 является выпуклой на пространстве R3. Действительно,

f(M) = 2(х2 + 4xjX2 + 2xjX3) + 1 lx2 + 52x2 - 16x2x3 =

= 2(x2 + 4x,x2 + 2XjX3 + 4x2 + x2 + 4x2x3) + 3x2 + 50x2 - 24x2x3 =

= 2(Xj + 2x2 + x3)2 + 3(x2 - 8x2x3 + 16x2) + 2x3 =

= 2(Xj + 2x2 + x3)2 + 3(x2 - 4x3)2 + 2x3 > 0

во всех точках пространства R3, т.е. функция f{M) положительно определена. •

Свойства выпуклых функций:

Г. Функция f(M) выпукла на множестве Ктогда и только тогда, когда функция -f(M) вогнута на V.

2°. Если функции fy{M) nf2(M) выпуклы на множестве V, то функция к^(М) + k2f2(M), где kv к2 — произвольные неотрицательные числа, также является выпуклой на V.

3°. Если функция f(M) выпукла на множестве V, то множество {Me V f(M) < b), где b — любое число, само является выпуклым множеством, если только оно не пусто.

4°. Если выпуклая функция f(M) определена на открытом множестве V, то на этом множестве она непрерывна.

Свойства вогнутых функций аналогичны.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |