Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

4.8. специфические свойства функций одной переменной

Функция у -/(х), определенная на множестве Fc R1, называется четной на этом множестве, если множество V симметрично относительно точки х = 0 и имеет место равенство /(-х) - /(х) для любого X є V.

График четной функции симметричен относительно оси ординат Оу.

Функция у - fix), определенная на множестве К с R1, называется нечетной на этом множестве, если множество К симметрично относительно точки х = 0 и имеет место равенство /(-х) = -f{x) для любого X є V.

114

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

О Примеры.

Функция y = cosx, для которой D(y) = ] —оо, +°°[, является четной функцией, так как cos(-x) = cosx для всех х є D(y).

Функция у = arcsinx, для которой D(y) = [-1, 1], является нечетной функцией, так как arcsin(-x) = -arcsinx для всехх є D(y). •

Функция у - /(х) называется периодической, если существует такое положительное действительное число t, что для всех точек X и х + / из области определения функции имеет место равенство fix + f) = /(х). При этом число t называют периодом функции.

Практически всегда ставится вопрос о наименьшем из всех возможных периодов, т.е. о числе Т - min/,-.

«

Если функция у = f(x) непрерывна, отлична от постоянной и периодическая на R1, то существует наименьший период Тэтой функции. Все остальные периоды кратны Т, т.е. /. = пТ, где п = 1, 2, 3,....

О Примеры.

у = sinx ну-cosx имеют период Т= 2л.

у = tgx иу-ctgx имеют период Т-п.

Функция Дирихле

(1,   если х-рациональное,

[О,  если х - иррациональное,

имеет периодом любое положительное рациональное число, однако не имеет наименьшего периода. •

Функция у = /(х) называется возрастающей (убывающей) на некотором множестве Fc R1, если она определена на этом множестве и если для любых значений xv х2 є Vm условия xt < х2 следует неравенство

ЯхЛ<Ах2) (/(х1)>/(х2)).

Функция у - f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на некотором множестве Fc R1, если она определена на этом множестве и если для любых значений хр х2 є ¥ш условия Xj < х2 следует неравенство

fiXl)<fix2) ІДхЛ>Ях2)).

115

Возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие функции называют монотонными. Возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными.

О Примеры.

у = lgx — строго монотонно возрастающая функция во всей области определения (см. рис. 1.11).

flY

у = —   — строго монотонно убывающая функция в области

определения (см. рис. 1.10).

у = х2 — функция, возрастающая в промежутке [0, +°°[ и убывающая в промежутке ]-оо, 0] (см. рис. 1.5).

у = [х] — целая часть числах (см. рис. 1.18) — неубывающая функция. •

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |