Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

4.10. понятие предела функции

Пусть функция у=f{M) - f(xv х2,xj определена на множестве К с R" и М0(Хр х2, х°) — предельная точка множества V (см. п. 3.5).

Имеют место два эквивалентных между собой определения предела функции:

Число Ъ называется пределом функции f(M) при М, стремящемся к М0 (Af —»MQ), если для любой последовательности точек Mv М2,    Mk,где Мк е V{k- 1, 2, 3, ...), Мк ф MQ, сходящейся к М0, последовательность значений функции f(M^), f(M2), f{Mk),... сходится к числу Ъ. При этом пишут

Ъ - lim f(M) или Ъ - lim /(хих2,...,хп).

 

xZx°

В частности, для функции одной переменной у = f(x) число Ъ называется пределом при х —» х0, если для любой последовательности значений аргумента xv х2, хк, где хк е V, хк ф х0 (к = 1, 2, 3, ...), сходящейся к х0, последовательность значений функции Дл^), f(x2), ...,f(xk),... сходится к числу Ъ:

b = lim/(х) или /(х) -> йприх —> х0.

X^XQ

Число Ъ называется пределом функции f(M) при М-> М0, если для любого числа є > 0 можно указать такую окрестность Sr(M0) точки М0, что для всех точек Me Sr(M0) n V, Мф М0 выполняется неравенство

f(M)-b\<e.

В частности, для функции одной переменной у = f(x) число Ъ называется пределом при х -> х0, если для любого числа є > 0 можно указать такое положительное число 6, что для всех х є V, х ф х0 и удовлетворяющих условию |х - х0| < 8, выполняется неравенство

|/(x)-Z>|<E.

О Примеры.

lim cos х = 1. Действительно, возьмем произвольное є > 0. Так

х->0

как |cosx -1| = 2sin2^ <     например, в промежутке |х| < л/2, то,

 

117

положив 8 = тіп(л/2, /2є), получим, что для всех х ф 0, удовлетворяющих условию |х| < 8, выполняется неравенство |cosx - 1| < є.

lim sin — не существует. Действительно, рассмотрим две по-

х-»0 X

следовательности {хЛ и {х'Л, где хк = —, х'к = —  , к=,2,

К      к          nk        K/l + lnk

3,     которые сходятся к нулю. Последовательность значений

функции {f(xk)} сходится к нулю, так как f(xk) = sinnk = 0 при

всех к. Последовательность же {f(x'k)} сходится к единице, так как

f(x'k) = sin (л/2 + 2\%к) = 1.

X X

lim  ,1 2 - не существует. Действительно, рассмотрим две

 

последовательности точек {Мк(1/к, 1/к)} и {М'к(2/к, У к)}, сходящиеся к точке О(0, 0). Последовательность значений функции ДМ,) =/(1,1) = 1/2, ДМ2) =/(1/2, 1/2) = 1/2,ДМк) =f(l/k, l/k) = = 1/2,... сходится к 1/2, а последовательность ДМ[) = /(2, 1) = 2/5, ДМ'2) =/(1, 1/2) = 2/5, ДМ'к)=Д2/к, l/k) = 2/5, ... сходится к 2/5. •

 

4.11. Некоторые замечательные пределы

 

,  ,.   sinx   ,  „ ,. tgx

1. km  = 1.   2. km— = 1.

x->0   X       x-»0 X

_ ,.   arcsinx   1      . r   arctgx ,

3. lim  = 1.   4. lim  — = 1.

x->0     X     x-»0 X

km(l + x)1/x =e      (e = 2,718...).

x->0

km15^±^ = logfle.   7. lim^^l.

x-»0        X   x->0 X

a* -1  e* -1

8. lim  = In a.         9. lim  = 1.

x-»0    X       x-»0 X

 

118

4.12. Свойства функций, имеющих предел

Пусть функция у=f(M) определена на множестве V.

Г. Если функция у = f(M) имеет при М-> М0 предел, то этот предел единственный.

2°. Если функция _у=ДМ) имеет при М —» М0 конечный предел, то существует окрестность S(M0) точки М0 такая, что функция f(M) ограничена в Sr(MQ) n V.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |