Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

4.18. асимптоты графика функции одной переменной

Пусть функция у = /(х) определена при всех х > х0 (х < х0). Если существуют числа к и Ъ такие, что функция fix) -kx-b бесконечно малая при х —> +°° (х -> -°°), то прямую линию у = Ах + Ъ называют асимптотой графика функции у - /(х) при х —> +°° (х —» -°°).

При этом если А; Ф О, то асимптоту называют наклонной, если же & = 0 (тогда у - Ъ), то горизонтальной.

Условие fix) -kx-b бесконечно малая означает, что

lim [f(x)-kx-b] = О

*->+~

(х-»^о)

и, следовательно, функция Дх) при х —> +°° (х -> -°°) неограниченно приближается к прямой y = kx + b («ведет себя почти как линейная функция»).

 

125

Например, на рис. 4.4 изображен график функции, имеющий наклонную асимптоту у - х- X при х —> +°° (правая наклонная асимптота) и горизонтальную асимптоту у - 1 при х —> -оо (левая горизонтальная асимптота).

Если существуют пределы

lim        - kx   и   lim [fix) - к]Х] = by,

то прямая у - к,х + Ь, является правой наклонной (при к, - О — горизонтальной) асимптотой графика функции

У =/(*).

Если существуют пределы

fix)

lim        = к2  и   lim [fix) - к2х] - b2,

то прямая у = к2х + Ь2 является левой наклонной (при к2 = 0 — горизонтальной) асимптотой графика функции У =/(*)•

Пусть функция у = fix) определена в некоторой окрестности точки х = х0. Если

lim fix) = оо  или    lim /(х) - оо,

X-¥Xq-0 X->Xq+0

то прямая х = х0 является вертикальной асимптотой графика функции y=fix).

Например, на рис. 4.5 изображен график функции у=fix), имеющий вертикальную асимптоту х = 2, так как lim /(х) = -н». Пре-

х-»2-0

дел справа lim f(x) = l.

х-»2+0

126

4.19. Понятие непрерывности функции в точке

Пусть функция f(M) = f(xv х2,хп) определена на множестве Fc R" и пусть точка М0(х®, х2,х®) є Кявляется его предельной точкой.

Функция f(M) называется непрерывной в точке М0, если для любого числа є > 0 можно указать окрестность Sr(M0) точки М0 так, что для всех точек М є S (М0) n V выполняется неравенство ДМ)-ЛМ0)\<е.

Непрерывность функции ДМ) в точке М0 означает существование предела lim /(М)и равенство этого предела значению функции

M->Mq

в точке Mf., т.е. lim f(M) = f(M0).

М->М0

В этом же случае для любой последовательности точек {Мк}, Мк є V, сходящейся к точке М0, последовательность значений функции f(Mx),f(M2), ...,f(Mk),... сходится кДМ0) (см. п. 4.10).

Условие lim f(M) = f(M0) равносильно следующему усло-

Af-»M0

вию: lim [f(M) - f(M0)] - 0. Если при этом точка Мимеет коор-динаты (xv х2,хп), то разностихх - х, х2 - х2,хп -х® обозначают соответственно через Axv Ах2, Ахп и называют приращениями аргументов, а разность f{M) - f(M0) — через Af(M0) и называют приращением функции в точке М0, соответствующим данным приращениям аргументов Axv Ах2, Ахп. Тогда условие lim [f(M) - f(M0)] = 0 может быть записано в виде АДМЛ —> 0

при AXj -> 0, Ах2 -> 0,Ахп -> 0 и, следовательно, непрерывность функции f(M) в точке М0 означает, что приращение функции стремится к нулю, когда приращения всех ее аргументов также стремятся к нулю.

В частности, функция у = f(x) одной переменной, определенная в некоторой окрестности точки х0, является непрерывной в этой точке, если для любого числа е > 0 можно указать зависящее от є число 8 > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию х - х0 < 5, выполняется неравенство |/(х) - /(х0)| < є, т.е. lim fix) = /(х0) или lim Af(x0) = 0.

х-¥х0 Дх-»0

 

127

О Примеры.

+ аппХп +

1. Линейная функция у = а1х1 + а2х2 + ... + апхп непрерывна в любой точке M(xv х2,хп) є R".

+ 2а,,х,х,, + ... + 2а,_х,х„ + 2а,,,х,,х, + ... + 2а_ ,_х_ ,х непрерывна в

2. Квадратичная функция у - anxf + а22х2 +

23х2х3 + ••• + 2flB_1„XB_1X„

'пл1л2 ^ •■■ ^ ^"пллп

любой точке из R".

3. Функция f(x) = sinx непрерывна при любом х є R1. Действительно, взяв произвольно точку xQ є R1 и приращение Ах, найдем,

, откуда

x0+-

а г/     ■ t     л     , . to    f Ах'

что А/(х0) - sin(xn + Ах) - smx0 - 2 sin—cos

J

Ax

lim A/(x0) - lim 2sin—cos x0 +

Дх->0

Ax

= 0. •

 

4.20.  Свойства функций,

непрерывных в точке

Г. Если функция f(M) и функция g(M) непрерывны в точке М0, то непрерывны в точке М0 и функции: &)RM)+g{M);

б)       kf(M), где к — постоянная;

в)       f(M)g(M);

г> ^,если£(М0)*0. g(M)

2°. Если функция f(M) определена на множестве V, непрерывна в точке М0 є КиДМд) > О (/(MQ) < 0), то существует окрестность Sr(M0) точки MQ такая, что f(M) > 0 (f(M) < 0) для всех точек Мє Sr(MQ) n V.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |