Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

4.22. непрерывность сложной функции

Пусть задана функция у=f{uv и2,ит), определенная на множестве Же R™. Пусть, кроме того, каждая из функций м1 =gl(x1, х2,

-' xr)> u2=S2(-xv xv •••> хп>> •••> um = Sm(xv х2> •••> Хг) определена на множестве Vc R" (см. п. 4.4).

Если функции gv g2,      gm непрерывны в точке AfQ(Xj, х2, х^) є V, а функция у=f(uv и2,ит) непрерывна в соответствующей точке Р0іи°х, и°,      iijj), где и° = gxiM0), и = g2iMQ), ит =8т(М<)>т0 сложная функцияу=№1х1,х2,хп),g2ixvх2,хп), gm(xv х2,хп)) непрерывна в точке MQ.

В частности, если функция и = gix) одной переменной х непрерывна в точке х0, а функция >> = /(и) одной переменной и непрерывна в точке и0 = gix0), то сложная функция у = /(g(x)) непрерывна в точке х0, т.е.

lim /(«) = lim figix)) = Д lim gix)).

 

129

Последняя формула, с одной стороны, показывает, что операция предельного перехода перестановочна с операцией взятия непрерывной функции (правое равенство), с другой стороны, дает правило замены переменной при вычислении пределов непрерывных функций (левое равенство).

О Примеры.

х + 1

1. lim x[ln(x +1) - lnx] = lim хIn

х-н-~ х-м-~ X

= lim In

1 +

 

= ln

lim  1 +

= lne = l   (см. п. 4.13).

 

Подпись: sin roc2. lim

«їх -1

X = t + 1

x -> 1 => t -> 0

Sin(7t? + Jl) -SU17tf

= lim^,        = lim 

»-»0f2 + 2/ + l-l        /(r + 2)

- -lim

sin го* n

nt    t + 2

v  '2 2

 

4.23. Односторонняя непрерывность

Пусть функция у - f(x) одной переменной х определена при х < xQ (х > х0). Функция fix) называется непрерывной слева (справа) в точке х0, если

Ит f(x) = f(x0)  ( lim f(x) = f(x0)).

x->xq-0 x->xo+0

О Примеры.

Функция /(х) = ^   непрерывна слева в точке х0,

[О,   х = О,

так как lim f(x) - lim ev* = 0 = /(0).

х-ї-0 х-»-0

Функция /(х) является непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка, непрерывна справа в точке х = а и непрерывна слева в точке х = b (см. п. 4.21). •

 

4.24. Непрерывность обратной функции

Если функция одной переменной у = f(x) строго монотонна и непрерывна на отрезке [а, Ь], то обратная функция х=g(y) опреде-

 

130

лена, строго монотонна и непрерывна на отрезке с концами в точках Да) и/(й).

Если функция одной переменной у - Дх) строго монотонна и непрерывна на интервале ]а, Ь[ (конечном или бесконечном) и если существуют (конечные или бесконечные) односторонние пределы с - lim f(x)nd= lim fix),то обратная функциях-g(y)

x-*a+0 x-¥b-0

определена, строго монотонна и непрерывна на интервале ]с, d[.

 

4.25. Точки разрыва функции

Пусть функция одной переменной у = Дх) определена в некоторой окрестности точки х0, за исключением, быть может, самой точки х0. Если функция Дх) не является непрерывной в точке х0, то говорят, что в точке х0 функция терпит разрыв, и точку х0 называют точкой разрыва функции.

Точку х0 называют точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы /(х0 - 0) =  lim /(х)

x->xg-0

и /(х0 + 0) =  Mm fix), но /(х0 - 0) Ф /(х0 + 0). В этом случае наи-

X->Xq+0

большую из разностей между числами Дх0), /(х0 - 0), /(х0 + 0) называют скачком функции Дх) в точке х0.

Например, для функции fix) = —Ц7- (см. рис. 4.3) точка хп = 0

1 + 2Vx

является точкой разрыва, так как в этой точке функция не определена (/(0) не существует). При этом /(-0) = Mm fix) = 1,

х-»-0

/(+0) = lim fix) = 0. Следовательно, точка хп = 0 является точкой

х->+0 и

разрыва первого рода, а разность /(-0) -/(+0) = 1— скачком данной функции.

Точку х0 называют точкой устранимого разрыва, если конечные односторонние пределы Дх0 - 0) и /(х0 + 0) равны между собой, но не совпадают со значением /(х0), если только оно существует.

Например,   для   функции  /(х) = <Х ПРИХ'*2, имеем

[1  при х = 2

/(2-0) = /(2 + 0) = limxі =4, однако 4 = /(2 - 0) =/(2 + 0) Ф

х->2

Ф Д2) - 1. Следовательно, точка х - 2 является точкой устранимого разрыва функции Дх) (рис. 4.6).

 

131

Термин «устранимый разрыв» оправдан тем, что достаточно доопределить или переопределить функцию в точке х0 для того, чтобы она стала непрерывной в этой точке. В рассмотренном примере надо положить g(2) = 4 = lim/(x); тогда функция

х->2

] х при х Ф 2, 14 при х = 2

является непрерывной в точке xq - 2.

Точку х0 называют точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов f(xQ - 0) и f(xQ + 0) не существует (в частности, бесконечен). Например, для функции /(х) - (рис. 4.7) точка xQ - 0 является точкой разрыва второго рода, так как /(-0) = 0, /(+0) = +°°.

Рис. 4.7

 

Замечание. Функция л переменных}' = f(xv х2,хп) может иметь не только изолированные точки разрыва, но и целые множества точек разрывов (линии, поверхности разрывов).

имеет разрыв

Например, функция f(xux2) =

2

*2)(*1 + 3*2)

во всех точках параболы х2 = xf и во всех точках прямой 1

Хл  — Хл .

2     3 1

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |