Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

Раздел v дифференциальное исчисление функций одной переменной 5.1. производная

Пусть функция у - /(х) определена в некоторой окрестности точки x.

dx ' dx

Первой производной {производной первого порядка) функции fix) в точкехназывают конечный предел отношения приращения функции Ay - Д/(х) к приращению аргумента Ах при условии, что Дх стремится к нулю. Обозначения производной: /'(х), у', ух, оДх) йу

, Таким образом,

г,/ ч і- АУ і- /С* + Ах)- f(x)

/ (х) - hm — = lim —        —J-^-L.

Лх-»0 Дх     Дх-»0 Ах

Ау

Если в некоторой точке х lim — = °° (+°°, -°°) и функция /(х)

Дх-»0 Дх

непрерывна в точке х, то говорят о наличии у этой функции в точке X «беСКОНеЧНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ» /'(х) = оо (+оо; -оо).

Конечные или бесконечные пределы

/Чх) = lim Лх + Дх)-/(х) и = ш /(х + Дх)-/(х)

Дж-»-0         Дх      Дх->+0 Дх

называют соответственно левой и правой производными функции Дх) в точке X.

Функция f(x) имеет в точке х производную/'(х) тогда и только тогда, когда односторонние производные f'_{x) и f'+{x) существуют и совпадают, т.е./'(х) =f'Jx) =f'+{x).

Операцию нахождения производной/'(х) называют дифференцированием функции f{x).

О Примеры.

1. Функция f{x) - х2 имеет конечную производную при любом действительном х. В самом деле, при любом х

133

... .    ,.   (х + Ах)2 - х2    2хАх + (Ах)2

f (х) - lim               hm     —— -

Дх-»о       Ах          Дх-»о Ах

= lim (2х + Ах) = 2х.

Дх->0

Функция f{x) = yfx имеет в точке х - 0 бесконечную производную. Действительно,

_,,„.          *У0 + Ах - 0 1

/ (0) = lim    = lim  ,       = +°о.

Дх->0        Дх        Дх->0 Я(Ах)2

Функция fix) = е^ не имеет в точке х = 0 производной, хотя в этой точке существуют конечные односторонние производные. В самом деле,

0+Дх _ 1      рАх _ і

/ДО) = Urn            = lim            = 1,

Дх->+о    Ах       д*->+о Ах

|0+Дх| _ ,    -Дх _ 1

/_'(0)= lim-   - = Hm         = = -1      (см. п. 4.11),

Дх->-0      Дх         Дх->-0 Дх

ноЛ0)*/Д0).«

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |