Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

5.2. дифференцируемость и дифференциал функции

Дифференциалом dx независимой переменной х называют ее приращение Дх (dx = Ах).

Функция у=Дх) называется дифференцируемой в точке х, если в этой точке ее приращение Ау = Л(х)с1х + oc(dx), где А(х) — постоянная, a oc(dx) = o(dx) при dx -» 0, т.е. a(dx) является бесконечно малой высшего порядка малости по сравнению с dx.

Главную линейную относительно dx часть приращения A(x)dx называют первым дифференциалом (дифференциалом первого порядка) функции fix) в точке х и обозначают d/(x) или dy. Таким образом, dy=A(x)dx, так что

Ay-dy + o(dx).

Если функция fix) дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Функция fix) дифференцируема в точке х тогда и только тогда, когда в этой точке существует конечная производная fix). При этом J(x) = fix), так что

dj>=/'(x)dx.

134

Из равенства Ay = dy + o(dx) при условии fix) Ф 0 следует, что при достаточно малых dx справедливо приближенное равенство

Ay~dy,  или /(x + dx)=/(x)+/'(x)dx,

используемое в приближенных вычислениях.

Если функция f{x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка, то говорят о дифференцируемости функции на этом промежутке. Если, кроме того, производная /'(х) непрерывна на данном промежутке, то говорят, что функция fix) непрерывно дифференцируема на этом промежутке.

О Примеры.

Функция у = xі дифференцируема при любом х, так как Ау = (х + dx)2-x2-2xdx + (dx)2 = 2xdx + o(dx). При этом dy = 2xdx.

Вычислить приближенно л/40.

Рассмотрим функцию /(х) = 4х. Ее производная fx) І Іусть х = 36, х + dx = 40. Тогда dx = (х + dx) - х = 4; fix) = /36;

f'(x) = A= = }z- Отсюда f(x + dx) = № - 6 + ±- ■ 4 = 6^ = 6, (3). •

2V36   12     12 3

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |