Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

5.3. геометрический смысл производной и дифференциала

 

Касательной к графику функции у - fix) в точке Af(x0; /(х0)) называют предельное положение секущей MN при произвольном стремлении точки Nk точке М по графику функции (или, что то же самое, при dx —» 0) (рис. 5.1).

Значение производной f'(x0) в точке х0 определяется угловым коэффициентом касательной, проведенной к графику функции Дх) в точке Af(x0; /(х0)), т.е. f'(x0) - tgcp, где ф — угол между положительным направлением оси Ох и касательной, отсчитываемый против часовой стрелки (см. рис. 5.1).

Уравнение касательной к графику функции у - fix) в точке Af(x0; Дх0)) имеет вид

y-f(x0)=f'ix0)ix-x0).

Если f'ix0) - оо (-оо, -|-оо), то касательная к графику непрерывной функции fix) в точке Af(xQ; /(xQ)) перпендикулярна оси Ох

 

135

Рис. 5.1

(вертикальная касательная). Уравнение такой касательной имеет вид х = х0.

Величина дифференциала dy в точке х0 равна приращению ординаты касательной к графику fix) в точке М(х0; f(xQ)) при переходе от точки х0 к точке (х0 + dx) (см. рис. 5.1).

О Примеры.

1. Написать уравнение касательной к графику функции

= —. Следова-

fix) = у[х в точке с абсциссой xQ = 4.

« ,     г.         1

Имеем f(xQ) = 74 = 2, /'(*) -

136

 

5.4. Физический смысл производной и дифференциала

В каждой точке, где функция у=f(x) имеет конечную производную fix), последняя может быть интерпретирована как мера скорости изменения у относительно х. Замена приращения функции ее дифференциалом позволяет считать процесс изменения зависимой переменной «в малом» линейным относительно изменения аргумента.

О Примеры.

Если s = s(t) — закон движения материальной точки, определяющий зависимость пути s от времени t, то производная

ds

v = — определяет мгновенную скорость материальной точки в мо-dt

мент времени t. Дифференциал ds - vdt определяет путь, который прошла бы материальная точка, двигаясь равномерно с мгновенной скоростью v в момент времени /, за промежуток времени от момента /до (/ + dt).

Если q - q(t) — закон, определяющий зависимость количества электричества, протекающего через поперечное сечение про-

r dq

водника, от времени /, то производная I - — определяет силу

dt

тока в момент времени /. Дифференциал dq- Idt определяет количество электричества, которое могло бы пройти через поперечное сечение проводника при постоянной силе тока / в момент времени / за промежуток времени dt. •

5.5. Приложения производной к экономике

В практике экономических исследований широкое применение получили производственные функции, используемые для установления зависимостей выпуска продукции от затрат ресурсов, при прогнозировании развития отраслей, при решении оптимизационных задач. Например, производственная функция Кобба — Дугласа связывает выпуск у с величиной производственных фондов К и затратами живого труда L:

y = qKaL1~a,

где q и а — постоянные, т.е. является функцией двух переменных КиЬ (см. п. 4.1).

137

В предположении дифференцируемости производственных функций важное значение приобретают их дифференциальные характеристики, связанные с понятием производной. Так, если производственная функция у - fix) устанавливает зависимость выпуска продукции у от затрат ресурсах, то/'(х) называют предельным продуктом, если же у - fix) устанавливает зависимость издержек производства у от объема продукции х, то /'(*) называют предельными издержками.

Характеристикой относительного изменения прироста функции у - Лх) ПРИ малых относительных изменениях прироста аргумента х является эластичность функции. Коэффициент эластичности є определяется по формуле

Подпись: dy dxПодпись: у ' х '

є = — : —

 

у'

или е - у —

Коэффициент эластичности широко используют в исследованиях потребительского спроса на товары в зависимости от цен этих товаров или доходов потребителей. Высокий коэффициент эластичности означает слабую степень удовлетворения потребности; низкий указывает на то, что данная потребность высока.

Если производственная функция устанавливает зависимость выпуска j от л производственных факторов хр х2, хп в виде у = Лхр х2> •••> хг) (см- п- 4-^)' т0 наиболее важными дифференциальными характеристиками такой функции являются:

ду

а)       предельная эффективность фактора х.;

— предельная норма замены факторов х. и х.;

 

эластичность замены факторов Xj и

х,. (см.

 

138

Теоретический и практический интерес представляют производственные функции с постоянной (отличной от единицы) эластичностью замещения труда производственными фондами и с постоянной (переменной) отдачей на единицу масштаба производства.

Примером такого рода функций является функция CES (Constant Elasticity of Substitution)

y = C0[CL-P + (l-C)K<']-i/t},

 

для которой эластичность замещения равна       ф 1; р, Сп и С —

1-р

постоянные.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |