Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

5.8. производная и дифференциал сложной функции

Если функция и = gix) дифференцируема в точке х0, а функция у = f{u) дифференцируема в соответствующей точке и0 = g(x0), то сложная функция у = Ф(х) = figix)) также дифференцируема в точке х0, причем

dy    dy du

,  или  Ф'(х0) = f'{u0)g'{x0).

dx   du dx

140

Справедливо равенство

dy = Ф'(х0) dx=f'(u0)du,

где du = g'(x0) dx, т.е. дифференциал равен произведению производной по некоторой переменной на дифференциал этой переменной независимо от того, является ли эта переменная независимой или функцией другой переменной (инвариантность формы первого дифференциала).

О Примеры.

Производная функции у = 3C0S 2х равна

у = 3coS52x m3(cos5 2ху = 3<™52x Ш . 5cos4 2X(C0S2X)' =

= 51n3 • З008'2* cos4 2x(-sin2x)(2x)' =

= -ІОІпЗ ■ sin2xcos4 2x ■ З^230.

Дифференциал функции у - tg46x равен

dy = 4tg36xd(tg6x) = 4tg36x——d(6x) =

cos 6x

24tg36xj 24sin36xJ

=       j         dx =   ;        dx.

cos 6x        cos 6x

1 + x2

3. Вычислить производную функции у = In л          (х < 1).

V 1-х

Предварительно преобразуем эту функцию к виду

у = -1п(1 + х2)--1п(1-х). 4 4

Тогда

1    2х     1   -1       2х + 1-х2

У =

4 1 + х2   4 1-х   4(1-х)(1 + х2)

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |