Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

5.9. логарифмическое дифференцирование

Прием логарифмического дифференцирования используется в том случае, когда функция имеет вид, удобный для логарифмирования, и сводится к следующей схеме:

а)       заменяют функцию у на функцию у\;

б)       логарифмируют выражение у\;

в)       находят производную от 1пу (.(Щу)'=у'/у)

г)       находят у'.

141

О Примеры.

1. Для функции у - (cosx)sm;lc (cosx> 0) имеем у- у и, следовательно,

lny = sinxln(cosx).

Тогда — = cosxln(cosx) + srnx   , откуда

, . . sin2x

cosxln(cosx) 

COSX

у COSX

 

у' = (cosxf11*

., sin5x

2. Для функции у - ?        имеем

V1 - sin5x

lnlyl = -ln|sin5x| - -mil - sin5x|.

И   5   I        5 1

_,      У    1 cos5x ,   1 -5cos5x ctg5x

Тогда —       5        , откуда

у    5 sin5x      5 1 - sin5x l-sin5x

Подпись: 1 - sin5x 1 - sin5xУ

sin5x ctg5x

 

5.10. Производные и дифференциалы высших порядков

Если для функции у - /(х) определена производная у(л_1) порядка (и - 1), то производную ум порядка п (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (п-1),т.е.у{п) = (у("-1)у.

В частности, у" = {у')' — производная второго порядка, у"' = (у")' — производная третьего порядка и т.д. Другие обозначе-

d V    tv    ,,   ..   Лгі/

ния производных высших порядков:    , у , уу, fу '(х).

dx"

При вычислении производных высших порядков используют те

2

же правила, что и для вычисления}/. Например, если у = ех , то у' = е*2 • 2х,

у" = (е*2 у-2х + е*2 (2х)' = е*2 • 2х • 2х + ех2 • 2 = = 2ех2(2х2 + 1).

142

Дифференциалы высших порядков функции у = /(и) последовательно определяют таким образом:

d2y = d(dy) — дифференциал второго порядка,

d3y = d(d2y) — дифференциал третьего порядка,....

Вообще, d"y = d(d""V) — дифференциал л-го порядка.

При этом если у = /(и) и и — независимая переменная или линейная функция u = kx + b переменной х, то

d2y=y"(du)2; d3y = y"'(du)3;...; d"y=y (">(dii)".

Если же у=/(и), где и = g(x) Ф kx + Ь, то

і2У =f"iu){duf +f'(u)d2u и т.д.

(свойство инвариантности формы не выполняется).

Например, для функции у = Зи5 - Ли2 + 7 ее первый дифференциал

dy = (5u4-Su)du

независимо от того, является ли и независимой переменной или функцией другой переменной. В то же время дифференциал второго порядка будет равен:

d2y = (60м3 - 8)(dw)2, если и — независимая переменная;

d2y - (60м3 - 8)(dw)2 + (15м4 - 8u)d2u, если и — функция другой переменной.

143

5.11. Производная обратной функции

Если дифференцируемая функция у - f(x) (а <х < b) имеет непрерывную обратную функцию х - g(y) и у' Ф О, то существует производная обратной функции х'у и имеет место равенство

ху ух-

Дифференцируя последнее равенство по у и предполагая существование з£, найдем

v" у"

(УХУ У (у'хУ При соответствующих предположениях аналогично можно определить производные любого порядка обратной функции.

Например, для функции у = ах (а > О, а Ф1, у > 0) обратной является функция х = logay. Ее производная

ху     ковау)      ^     ^ ахыа

Кроме того, так как у" = ах(]па)2, то

a* (In а)2

хлп, - -

w     (ахЫа? у2Ыа

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |