Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

5.14. теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Теорема Ролля. Если функция у=fx) непрерывна на отрезке [а, Ь], дифференцируема на интервале ]а, Ь[ и если fa) = f(b), то на интервале ]а, Ь[ найдется хотя бы одна точка с такая, что

f(c) = 0.

145

Геометрический смысл теоремы Ролля: на графике функции Дх) (дуга АВ на рис. 5.4) найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох (это точки MnN).

Условия теоремы существенны. Так, на рис. 5.5 функция Дх) разрывна в точке av а на рис. 5.6 функция Дх) не имеет в точке а2 производной (ни конечной, ни равной +<*>, ни равной -°°). В обоих случаях на отрезке [а, Ь] не существует ни одной точки, в которой /'(*) = 0.

Теорема Лагранжа. Если функция у - Дх) непрерывна на отрезке [а, Ь] и дифференцируема на интервале ]а, Ь[, то на интервале ]а, Ь[ найдется хотя бы одна точка с такая, что

f(b)-f(a)=fc)(b-a).

Геометрический смысл теоремы Лагранжа: на графике функции Дх) (дуга АВ на рис. 5.7) найдется хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна хорде АВ (это точки М и N).

Замечание. Полагая Ъ = а + Ах, где Ах Ф 0, можно точку с представить в виде с = а + Q(b -а) = а + 9Ах (0 < 9 < 1). Тогда формула f(b) - Да) = f'(c)(b - а) принимает вид

Да + Ах) -Да) = /'(а + 0Ах)Ах.

Это формула конечных приращений Лагранжа.

Если функция Дх) определена на некотором промежутке, непрерывна в каждом из концов этого промежутка (если он ему принадлежит) и имеет производную, равную нулю во всех внутренних точках промежутка, то функция Дх) постоянна в промежутке (признак постоянства функции).

146

Теорема Копта. Пусть функции |/(0 и ф(?) непрерывны на отрезке [ос, Р] и дифференцируемы на интервале ]ос, |3[. Если производная ф'(0 Ф О при всех te ]а, Р[, то на интервале ]а, Р[ найдется хотя бы одна точка £ такая, что

¥(P)-¥(oQ^¥U) ф(Р)-Ф(а) ф'©'

Геометрический смысл теоремы Коши тот же, что и у теоремы Лагранжа. Действительно, если функцию (см. рис. 5.7) задать параметрически соотношениями х - ф(/), у - |/(ґ) (а < t < Р) так, что координаты точки А соответствуют значению t = ос, а координаты точки В — значению t = Р, то в точках Ми іГугловой коэффициент

касательной ^    равен угловому коэффициенту tgyxop,zn>i где Ф'(£)

tgy = ¥(P)-¥(«) Ф(р) - ф(сс)'

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |