Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

5.16. правило лопиталя раскрытия неопределенностей

Если существует окрестность точки х - а, в которой функции |/(х) и ф(х) дифференцируемы, за исключением, быть может, самой точки х - а, ф'(х) Ф 0 и либо lim |/(х) = lim ф(х) = 0, либо

х->а х->а

148

lim V|/(x) = lim ф(х) = °°, то при условии существования lim ^ ^

х-¥а   х->а   х->а ф'(х)

существует и lim-1 , причем имеет место равенство (правило

х-»а ф(х)

Лопиталя)

IimlKW = limvM

х->а ф(х)     х->а ф'(х)

(правило применимо и в случае, когда а бесконечно).

Замечание. Если отношение        в точке х = а также пред-

ф'(х) О °°

ставляет неопределенность вида — или —, то при выполнении со-

0 °°

ответствующих условий правило Лопиталя может быть применено

У'О) и к       , так что

 

х->о ф(х)     х->а ф'(х)     х^а ф"(х)

причем процесс, если это необходимо, можно продолжить.

Неопределенности вида 0 • °° или °° - °° приводятся к неопре-0 °°

деленностям вида — или — с помощью алгебраических преобразо-0 °°

ваний.

Неопределенности вида 1°°,      0° приводятся к неопределен-0

ностям вида — или — с помощью предварительного логарифмиро-0 °°

вания.

О Примеры.

Подпись: ln(x2-3)     ГОЛ   1:   2х/(х2-3) 41. lim

*->2Х2 + 7х-18

V0y

- lim: х->2   2х + 7 11

2. mn(x-4)tg^ = (0oo) = lim^:

х-»4   а        х-¥4  . их

8

ctg—

= lim

х-»4   П      1 л 8 ■

sin     

 

149

3. Вычислить предел lim (sinx)tg* = (Г°).

x-»7l/2

Сначала найдем предел логарифма данной функции: lim lr^sinx)18* = lim [tgxln(sinx)] = (°° • 0) =

x-¥n/2 x-¥n/2

Подпись: - Urn ln(sinx)    (0 CtgX

x-rn/2 ctgJC

Отсюда

. - lim —-л— - lim (-sinxcosx) - 0.

0 J    х->я/2       1 х->я/2

sin2x

lim (sinx)tgx = e° =l.e

x-mi/2

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |