Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

5.17. признаки монотонности функции

Пусть функция у = f(x) определена и дифференцируема в интервале ]а, Ь[.

Для того чтобы функция f(x) была неубывающей (невозраста-ющей) в интервале ]а, Ъ[, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках интервала ]а, Ь[ производная f'(x) > 0 (/'(*) < 0).

Для того чтобы функция f(x) была строго возрастающей (строго убывающей) в интервале ]а,Ь[, достаточно, чтобы во всех точках интервала ]а, Ь[ производная f'(x) > 0 (f'(x) < 0).

О Пример. Для функции f(x) = х2е~х производная f'(x) = = хе~х(2 - х). Поэтому f'(x) < 0, если х є ]-«>, 0[ и ]2, +°°[, и в этих промежутках функция f(x) строго убывает; f'(x) > 0, если х є ]0,2[, и в этом интервале функция строго возрастает. •

 

5.18. Экстремум функции

Если существует такая 8-окрестность точки х0, что для всех точек х Ф xQ и принадлежащих этой окрестности выполняется неравенство f(x) > f(xQ) (f(x) < f(xQ)), то точку х0 называют точкой нестрогого минимума (нестрогого максимума) функции f(x), а число f(xQ) — минимумом (максимумом) этой функции.

Если в указанной 5-окрестности выполняется строгое неравенство f(x) > f(x0) (f(x) < f(xQ)), то точку х0 называют точкой строгого минимума (строгого максимума).

Точки строгого и нестрогого максимума и минимума функции называют ее точками экстремума.

150

Если xQ — точка минимума функции f(x), то в указанной 5-окрестности точки х0 приращение функции АДх0) = Дх) -- Дх0) > О (АДх0) > 0); если же х0 — точка максимума функции Дх), то АДх0) < 0 (АДх0) < 0) во всех точках 5-окрестности точки х0.

Пусть точка х0 является точкой экстремума функции Дх), определенной в некоторой окрестности точки х0. Тогда либо производная f'(x0) не существует, либо f'(x0) - 0 (необходимый признак экстремума).

Точки, в которых производная функции Дх) не существует или обращается в нуль, называют критическими.

О Пример. Для функции f{x) = Щх(х - 8) ее производная

Следовательно, fix) = 0 при х = 2;/'(х) не суще-

ствует при х - 0 (/'(0) = -°°). Таким образом, точки экстремума функции Дх), если таковые вообще имеются, находятся только среди критических точек х = 0их = 2. •

Достаточные условия строгого экстремума непрерывной функции:

Пусть функция Дх) дифференцируема в некоторой окрестности ]х0 - 6, х0 + 8[ критической точки х0, за исключением, быть может, самой точки х0, в которой тем не менее функция Дх) непрерывна. Если при этом в интервалах ]х0 - 8, х0[ и ]х0, х0 + 8[ производная f'{x) имеет противоположные знаки, то х0 — точка экстремума, причем:

а)       если fix) > 0 при х є ]х0 - 8, х0[ и /'(х) < 0 при х є ]х0, х0 + 8[,

то х0 — точка строгого максимума функции;

б)       если/'(х) < 0 при х є ]х0 - 8, х0[ и/'(х) > 0 при х є ]х0, х0 + 8[,

то х0 — точка строгого минимума функции.

Если же f'{x) сохраняет знак при всех х Ф х0, х є ]х0 - 8, х0 + 8[, то х0 не является точкой экстремума функции Дх).

Пусть f'(x0) - 0, функция Дх) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки х0 и f"(x) непрерывна в этой окрестности. Тогда:

а)       еслиf"(xQ) < 0, тох0 — точка строгого максимума функ-

ции Дх);

б)       если f"(xQ) > 0, тох0 — точка строгого минимума функ-

ции Дх);

в)       если f"(x0) - 0, то вопрос о наличии экстремума остается

открытым.

151

3. Пусть/'(х0) =/"(х0) =... =/<^1)(дСо) - 0, а/<">(х0) * 0. Тогда:

а)       если и — четное, то при f^"x0) < 0 точка х0 является точ-

кой строгого максимума, а при/(л)(х0) > 0 — точкой строгого

минимума;

б)       если и — нечетное, то х0 не является точкой экстремума.

О Примеры.

Дана функция/(х) = у[х(х - 8). Ее производная fix) = — ,— ,

3 \]х2

так что критическими являются точки х-0, х-2. При этом Д(х) < О как при х < 0, так и при 0 < х < 2 и, следовательно, согласно условию 1, точка х = 0 не является точкой экстремума функции fx). С другой стороны, fix) < 0 при 0 < х < 2 и fix) > 0 при х > 2; следовательно, х = 2 является точкой строгого минимума, а число /(2) = -6v2 — минимумом функции fix).

Рассмотрим функцию fix) =х3 - Зх2. Ее производная fix) = - Зх2 - 6х = Зх(х - 2), так что fix) - 0 при х = 0 и х = 2. Вторая производная fix) = 6х - 6 и, следовательно, /"(0) = -6 < 0, а /"(2) = = 12 - 6 = 6 > 0. Тогда, согласно условию 2, точка х = 0 является точкой строгого максимума функции и /(0) = 0, а точка х = 2 — точкой строгого минимума и /(2) = -4.

Дана функция fx) = х4. Для этой функции fix) = 4х3, fix) - 12х2, fix) - 24х, fwix) - 24, так что /'(0) - /"(0) - /"'(0) -= 0, a fwi0) = 24 > 0. Тогда, согласно условию 3, точках = 0 является точкой строгого минимума и /(0) = 0. •

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |