Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

5.19. наибольшее и наименьшее значения функции на множестве

 

Пусть функция у = fx) определена на некотором множестве FcR1HTO4Kax0e V.

Если для всех х є V выполняется неравенство fx) < fxQ), то говорят, что в точке х0 функция fx) принимает свое наибольшее значение fx0) на множестве V.

Если для всех х є ^справедливо неравенство fx) > Дх0), то в точке х0 функция fx) принимает свое наименьшее значение /(х0) на множестве V.

Если функция fx) определена и непрерывна на отрезке [а, Ь], то она достигает на этом отрезке своих наибольшего и наи-

152

меньшего значений. Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции необходимо:

найти все критические точки функции, принадлежащие отрезку [а, Ь];

добавить к ним концы отрезка (точки х - а их - Ь);

найти значения функции во всех выделенных точках;

выбрать из полученных значений самое большое и самое маленькое.

Если же функция f(x) имеет на отрезке [а, Ь] конечное число точек разрыва, то для отыскания наибольшего и наименьшего значений такой функции необходимо: добавить к указанным точкам все точки разрыва функции, принадлежащие отрезку [а, Ь], и исследовать поведение функции в окрестности каждой точки разрыва.

Наконец, если функция fix) задана на открытом промежутке (например, на интервале ]а, b[, а < Ь), то дополнительно необходимо исследовать поведение функции в односторонних окрестностях концов промежутка (при х —> а + О и при х -> Ъ - 0).

О Примеры.

1. Функция fix) = xі - Зх2 определена и непрерывна на отрезке [1, 3]. Ее производная fix) = Зх(х - 2), так что точки х = 0, х = 2 — критические. При этом, однако, х = 0 ё [1,3]. Следовательно, необходимо рассмотреть лишь точки х = 1, х = 2, х = 3. Имеем: /(1) = -2, /(2) = -4, /(3) = 0. Таким образом, наибольшее значение, равное 0, функция принимает в точке х = 3, а наименьшее значение, равное (-4), — в точке х = 2.

Функция определена на отрезке [-2, 2], однако разрывна при х = 0 (lim x2 = 0, в то время как/(0) = -1).

х->-0

Критических точек функция fix) не имеет, так как /'(х) = 2х при -2 < х < 0 и fix) = 1 при 0 < х < 2, т.е. fix) Ф 0 на отрезке [-2, 2].

Следовательно, необходимо рассмотреть лишь точки х = -2, х = 0, х = 2. Имеем:/(-2) = 4,/(0) = -1, lim fix) = 0,/(2) = 1.

х->-0

Таким образом, наибольшее значение, равное 4, функция принимает при х = -2, а наименьшее значение, равное (-1), — прих = 0.

 

153

3. Функция fix) -4-х2 определена и непрерывна в полуинтервале [-2,1 [. Ее производная fix) - -2х, так что точка х - О — критическая точка, принадлежащая [-2, 1[. Необходимо рассмотреть точки х - -2, х - О, х - 1. Имеем: /(-2) = 0, /(0) = 4, lim fix) =

х-»1-0

= lim (4-x2) = 3.

x-»l-0

Таким образом, наибольшее значение, равное 4, функция принимает в точке х = 0, а наименьшее значение, равное 0, — в точке х = -2. •

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |