Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

1.6. обыкновенные и десятичные дроби

Числа 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5,... называют целыми. Отношение двух целых чисел рид принято называть обыкновенной дробью — (используюттакже записьp'.qnp/q). При этом целое 9

число р называют числителем, а целое число q Ф 0 — знаменателем дроби.

Если числар и q имеют общий делитель, отличный от единицы, то дробь можно сократить. Сокращение дроби производится делением числителя и знаменателя на их общий делитель. Результатом сокращения является дробь, тождественно равная данной дроби. Например, дробь 34/51 можно сократить на НОД(34, 51) = 17, так что 34/51 = 2/3.

Если р < q (см. п. 1.9), то дробь называют правильной; если р > q, то неправильной. Неправильная дробь может быть представлена в виде суммы целого числа и правильной дроби, т.е. в виде

8        2 2

смешанного числа. Например, - = 2 + - = 2-.

При сложении (вычитании) обыкновенных дробей а/Ь и c/d

поступают следующим образом:

а)       находят НОК(й, d);

б)       определяют дополнительные множители для каждой из дан-

ных дробей, т.е. находят такие числа г и t, что br-dt- НОК(6, d);

7

в)       строят искомую дробь в виде

ar±ct НОК(М)'

г)       сокращают полученную дробь.

Например,

5_   3 _ 5-2 + 3-3 _ 19.     7     1 _ 7-3-1-5 _ 16 _ 2 12 + 8 ~     24     ~ 24'    40   24 ~    120    ~ 120 ~ 15'

Умножение и деление обыкновенных дробей осуществляют по следующим правилам:

а с    ас     аса d ad Ъ d    bd'    b  d    be be'

при этом полученные результаты необходимо сократить, если это возможно. Например,

2 _3__U__A-    З ,_9__ 3 14 _ 3• 14 _ 2 510 ~ 5-Ю ~ 25'    7 ' 14 ~ l' 9 ~ 7-9 ~ 3'

Числа, представимые обыкновенными дробями, называют рациональными. Все целые числа входят в множество рациональных чисел Q.

Конечной десятичной дробью называют дробь, знаменатель которой является целой положительной степенью числа 10. В этом случае дробь принято записывать без знаменателя, отделяя в числителе запятой (справа налево) столько знаков, сколько нулей в

3        1721 13

знаменателе. Например, — = 0,3;       = 17,21;      = 0,013.

10      100 1000

Бесконечная десятичная дробь имеет вид хй^с^с^су.лп..., где х0 — целое число, а каждая из величин xv х2, хп, ... принимает одно из значений 0, 1, 2,9.

Бесконечную десятичную дробь называют периодической, если в ее записи, начиная с некоторого места, бесконечно повторяется одна и та же группа цифр. Эту повторяющуюся группу цифр называют периодом дроби. В записи дроби период принято заключать в скобки. Например, дробь 1,6234234234... записывают в виде 1,6(234).

Если бесконечная десятичная дробь не содержит периода, ее называют непериодической.

В тех случаях, когда период дроби равен 0 или 9, дробь рассматривают как конечную. Здесь имеют место следующие правила:

8

х0,000...=х0;    (х0- 1),999...=х0; Xo^Xj..лл000... =x0,xlx2...xn        (хп Ф0,п = 1,2, 3,...); х0^хт..(хп- 1) 999... = х0,х1х2...хй (хп*0, и = 1,2, 3,...). Например, 0,37(9) = 0,38(0) = 0,38.

Числа, представимые всевозможными десятичными дробями, называют действительными (вещественными).

Всякое рациональное число представимо либо в виде конечной, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Например, 7/22 = 0,3(18); 3/16 = 0,1875. Все рациональные числа входят в множество действительных чисел R.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, принято называть иррациональными. Всякое иррациональное число представимо в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Например, -Л = 1,414213...; к = 3,141592...; е = 2,718281... -иррациональные числа.

Для любого действительного числа х и для любого сколь угодно малого положительного рационального числа є найдутся два рациональных числа oCj и а2 такие, что 0Cj < х < ос2 и а2 - о^ < є. Числа 0Cj и а2 называют приближенными значениями числах по недостатку и по избытку соответственно при заданной степени точности е. Например, 1,414 < >/2 < 1,415 с точностью до 0,001.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |