Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

5.21. точки перегиба графика функции

Точка (х0; f(x0)) называется точкой перегиба графика функции У = /(*) j если в этой точке существует касательная к графику и в промежутках ]х0 - 8, х0[ и ]xQ, х0 + 8[, где 8 — некоторое положительное число, график функции имеет разное направление выпуклости.

Так, на рис. 5.9, а точка М0 является точкой перегиба графика функции, а на рис. 5.9, б точка М, не является точкой перегиба, хотя в этой точке и происходит изменение направления выпуклости графика (в точке М. не существует касательной к графику).

 

Пусть точка (х0; /(jc0)) является точкой перегиба графика функции У = fix), определенной в некоторой окрестности точки х0. Тогда либо вторая производная f"(x0) не существует, либо f"(x0) = 0 (необходимый признак точки перегиба).

Пусть в точке (х0; f(x0)) существует касательная (хотя бы вертикальная) к графику функции у = f(x) и в некоторой окрестности ]х0 - 8, х0 + 8[ (8 > 0) существует f"(x), за исключением, быть может, точки xQ, причем f"(xQ) = 0 или f"(xQ) не существует. Если при этом в интервалах ]xQ - 8, х0[ и ]xQ, xQ + 8[ производная f"(x) имеет противоположные знаки, то точка (х0; /(х0)) является точкой перегиба графика функции у = fix) (достаточные условия точки перегиба).

155

О Примеры.

1. Рассмотрим функцию fix) - xі. Ее производная fix) - Зх2, a fix) - 6х. Тогда fix) - О при х-0, причем /'(0) = 0 (в точке х - 0 существует касательная к графику). Производная fix) < 0 при х < 0 и fix) > 0 при х > 0. Следовательно, точка (0, 0) является точкой перегиба графика функции у-xі.

4 х-2

2. Для функции fix) = fxix - 8) имеем fix) =

4 х + 4

fix) - — ,— , так что fix) = 0 при х = -4 и /"(*) не существует 9 л/х5

4

при х = 0. При этом /'(-4) = -т^,а/'(0) = -°°(вточкахх=-4их = 0

л/2

существуют касательные к графику функции, причем при х = 0 касательная вертикальна). Кроме того, fix) > 0 при х < -4, fix) < О при -4 < х < 0 и fix) > 0 при х > 0. Следовательно, точки (-4; 12^/4) и (0, 0) являются точками перегиба графика функции. •

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |