Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

6.2. полное приращение функции нескольких переменных

Пусть функция ДМ) определена в некоторой окрестности точки М0(хх,х(°,х®). Рассмотрим точку М&(х® + Ахх,...; х? + Ах.;

х° + Ахй). Полным приращением А/функции ДМ) в точке М0 называется число ДМД) -ДМ0), т.е.

АГ=ЛМА)-ДМ0) =

=/(xJ + Axp    х° + Дх.,х° + Ахп) -Дх°,    х°,х°).

О Пример. Найти полное приращение функции ДМ) = х2 + х2 вточкеМ0(1; -2).

Так как Мд(1 + Дх^ -2 + Дх2), то

Д/=ДМД)-ДМ0) =

= (1 + Дхх)2 + (-2 + Дх2)2 - I2 - (-2)2 = 2Axx - 4Ах2 + (Дх^2 + (Ах2)2. •

Полное приращение функции нескольких переменных существует в любой точке, в окрестности которой эта функция определена.

О Пример. Найти полное приращение функции ДМ) = х3 + + XjX2 + XjX3 в произвольной точке M(xv х2, х3) є R3. Так как MA(Xj + Дхр х2 + Дх2; х3 + Ах3), то

А/=ДМД) - ДМ0) = (Xj + Axj)3 + (х1 + Axj)(x2 + Ах2) +

+ (Xj + Дх1)(х3 + Ах3) - х3 - ХуХ2 - XjX3 = (Зх2+х2 + х3)Дх1 + ххАх2 +

+ XjAx3 + ЗхДАх^2 + (AXj)3 + AXjAx2 + AxtAx3. •

 

159

6.3. Дифференцируемость функций нескольких переменных

Пусть функция f(M) определена в некоторой окрестности точки MQ, MQ є R". Функция f(M) называется дифференцируемой в точке MQ, если полное приращение Д/в этой точке имеет следующий вид:

Af=A,Ax, + АДх, +... +А Ах + а,Лх, + оцДх, +... + а Дх ,

где Av А2,     Ап — некоторые числа, не зависящие от Ахх, Ах2, Ахп, a av ос2,ап —> 0 при Дх, —> 0, Дх2 —> 0,Дхи —> 0.

О Примеры.

Функция f(M) = х2 + х2 дифференцируема в точке MQ( 1; -2). В самом деле,

Af= 2Ах{ - 4Дх2 + (Axj)2 + (Дх2)2,

т.е.

Af-^jAXj + А2Ах2 + ос, AXj + a2Ax2,

где Ax = 2,A2 = -4, otj = Axv a2 = Ax2.

Функция f(M) = x3 + XjX2 + XjX3 дифференцируема в любой точке M(xv х2, х3) є R3. Действительно,

Af-(Зх2+х2+x3)AXj + xtAx2+XjAx3 + Ах1(Ъх]Ах1 + Ax2 + Ax3 + (AXj)2), т.е.

Af - A1Ax1 + A2Ax2+A3Ax3 + o^AXj,

где Al - 3x2 + x2 + x3, A2 - xp Аг = xv o^ = 3XjAXj + Ax2 + Ax3 + (Ax^2 и a, —> 0 при Ax, —> 0, Ax2 —> 0, Ax3 —> 0. •

Линейная функция f(M) = a1x1 + a2x2 +... + ajcn и квадратичная функция f(M) = anx + a22x^ + ... + a„„x2 + 2flj2XjX2 + 2a13XjX3 + ... ... + 2alnxlxn + 2a23x2x3 +... + 2а2йх2хй +... + 2ай_1йхй_1хй дифференцируемы в любой точке M(xv х2,хй) є R".

Свойства дифференцируемых функций:

Г. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна.

2°. Если функция f(M) дифференцируема в точке М0, то она имеет в этой точке все частные производные, причем

160

¥ = дх]ІМо)АХі + С(М°)ЛХ2 + •" + дх~Шо)АХп + + щАхх + а2Ах2 +... + oc„Ax„,

где ар а2,ап -> 0 при Дхр Дх2,Дхи -»0.

3°. Если функция f(M) имеет все частные производные в некоторой окрестности точки М0, которые непрерывны в самой точке М0, то функция f(M) дифференцируема в этой точке.

 

6.4. Дифференциал функции нескольких переменных

Если функция f{M) дифференцируема в точке М0, то линейная часть приращения функции ДМ) в точке М0 называется ее дифференциалом df(MQ) в точке М0, т.е.

d/W0) = |^(Л/0)Ах1 + ^-(М0)Ах2 +... +1^ (М0)Дх„.

dXj     0X2 dxn

Можно считать, что (Ц = Axv dx2 = Ах2, ...,dxn = Ахп. Тогда

&f(M0) = |^(M0)dx1 + |^(M0)dx2 +... + |^(М0)охй.

dXj     dx2 dx„

О Пример. Найти дифференциал функции ДМ) = хх2 + х?х3 + + х3вточкеЛГ0(2; 1;-3).

0J      2        of       4        OJ 2

Так   как        = 3xfx2,   zf— = х[ + 2х2х3,   zr— = х2 +1, то

dXj     Эх2 ох3

^(М0) = 12, |^(М0) = 2, ^-(М0) - 2 и d/(Af0) = 12<Ц +

dXj     dx2 dx3

+ 2dx2 + 2dx3. •

Основное свойство дифференциала. Если функция ДМ) дифференцируема в точке М0, то при малых Axv Ах2,Ахп

A/(M0)-d/(M0),

т.е.

А/ТО « £Vo)A*i + |^о)А*2 + - + ¥-(М0)Ахя.

 

161

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |