Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

6.5. градиент функции нескольких переменных

Градиентом функции /(Af) в точке М0, Af0 є R", называется вектор, координаты которого соответственно равны значениям частных производных функции /(Af) в точке AfQ:

          £<".)}.

Так, если /(Af) = X3 + ххх2 + х^, то grad/= {Зх2 + х2; 2ххх2 Зх2} (grad/ — градиент функции /(Af) в произвольной точке Af(Xj, х2, х3) є R3). Если же /(А/) = ххх2 - х2, Af0(l; -1), то grad/|Mo=(-5;7).

Основное свойство градиента. Пусть функция /(Af) дифференцируема в точке Af0(jCj, х2,х°), а а = (ах, а2,ал) — некоторый и-мерный вектор. Рассмотрим точку Mt(x[° + axt; х2 + a2t;...; х^ + a J). Тогда:

если скалярное произведение grad/|   • а < 0, то существует

число Ту > 0 такое, что /(AQ < /(Af0) для всех t,0<t<Tx;

если скалярное произведение grad/|   • а > 0, то существует число Т2>0 такое, что /(AQ > /(AfQ) при всех t,0<t<T2.

Чтобы найти точку, в которой данная функция принимает значение, большее, чем в точке Af0(Xp х2, х®), можно поступить следующим образом:

выбрать направление перемещения, т.е. найти вектор а = (av а2,ап) такой, что grad/| • ос > О (если нет дополнительных ограничений, можно положить а = grad fM^l

рассмотреть точку М((хх + axt; х2 + a2tх® + aj) и подобрать параметр t> 0 так, чтобы f(M() > /(AfQ).

О Примеры.

1. Найти точку, в которой значение функции /(Af) = -Зх2 -- Зх2 + 2ххх2 + 10хх- 6х2 + 2 больше ее значения в точке Af0(-1; 1). Так как grad/ = {-6хх + 2х2+ 10; -6х2 + 2хх - 6}, то grad fM =

= (18; -14). Если а = (1; -1), то grad/"|   • а = 18 + 14 = 32 > 0. 162

Рассмотрим точку М(-1 +1; 1 - і). Тогда ДМ) = -8Г + 32/ - 22 и df(Mt)

при t-2 имеем        — = 0. Значит, при t-2 функция ДМ) имеет

dt

наибольшее значение. Если / = 2, то Mt(l; -1) и ДМ) = 10, в то время как ДМ0) - -22.

2. Найти точку на плоскости х, + Зх2+х3 = 15, в которой значение функции ДМ) = -х - 2х2 - Xі больше ее значения в точке М0(1; 2; 8).

Рассмотрим точку Mt(l + a,t; 2 + a2t; 8 + a3t). Эта точка должна принадлежать данной плоскости, т.е. 1 + a,t + 3 (2 + a2t) + 8 + a3t = 15, или flj + Ъа2 + а3 = 0. Кроме того, вектор а = (av а2, а3) должен удовлетворять условию grad fM^ ■ а > 0. Так как grad fM = (-2; -8; -16), то имеем систему

Ц + ЗС2 + flj = 0, ^

[-2а, - 8о2 - 16а3 > 0.

Вектор а = (-2; 1; -1) является решением системы (*). Таким образом, Mt(l - 2t; 2 + t; 8 - /), а ДМ) = -It2 + 2t - 73. Функция ДМ) имеет наибольшее значение при / = 6/7. Если / = 6/7, то

М((-5/7; 20/7; 50/7), а ДМ) = -67*, в то время как ДМ0) = -73. •

Основное свойство градиента используют для отыскания экстремумов функций нескольких переменных (см. пл. 9.23; 9.24).

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 |