Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

5.14. теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Теорема Ролля. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [а, 6], дифференцируема на интервале ]а, Ь[ и если f {a)=f (Ь), то на интервале ]а, Ь[ найдется хотя бы одна точка с такая, что Г(с)=0.

(in

Геометрически (рис. 5.4), в условиях теоремы, на графике функции f(x) (дуга АВ) найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох (это точки М и N). Условия теоремы существенны. Так, на рис. 5.5 функция /(х) разрывна в точке щ, а на рис. 5.6 функция f(x) не имеет в точке а2 производной (ни конечной, ни равной +оо, ни равной —со). В обоих случаях на отрезке [я, Ь] не существует ни одной точки, в которой /' (х)=0.

Теорема Лагранжа. Если функция у =/ (х) непрерывна на отрезке [а, Ь] и дифференцируема на интервале ]а, Ь[, то на интервале ]а, Ь[ найдется хотя бы одна точка с такая, что f(b)-f(a)=f (с)ф-а).

Геометрически (рис. 5.7), в условиях теоремы, на графике функции f(x) (дуга АВ) найдется хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна хорде А В (это точки М и N).

Замечание. Полагая Ь=а+Ах, где АхфО, можно точку с представить в виде с=а+в ф-а)~а+в-Ах (0<6<1). Тогда формула f(b)—f (а) = /' (с) ф — а) принимает вид

/(a+Ax)—f (а)=Г (а + ВАх) Ах.

Это формула конечных приращений Лагранжа.

Если функция f (х) определена на некотором промежутке, непрерывна в каждом из концов этого промежутка (если он ему принадлежит) и имеет производную, равную нулю, во всех внутренних точках промежутка, то функция / (х) постоянна в промежутке (признак постоянства функции).

Теорема Кошм. Пусть функции ф (?) и ц> (t) непрерывны на отрезке [а, § и дифференцируемы на интервале ]а, /3[. Если производная <р' (0#0 при всех ґє]ос, <3[, то на интервале ]а, /J[ найдется хотя бы одна точка І такая, что

 

9(f)-9 (я) <р'Ц)

Геометрический смысл теоремы Коши тот же, что и у теоремы Лагранжа. Действительно, если функцию (рис. 5.7) задать параметрически соотношениями х = (р (t), у = ф (t) (m^t^fi) так, что координаты точки А соответствуют значению t = a, а координаты точки В— значению ( = 0, то в точках М и N угловой

коэффициент касательной ~-~ равен угловому коэффициенту tg у

<р' (О

хорды АВ, где tg у =            .

 

5.15. Формула Тейлора

Если функция у=/(х) имеет производные до (л 4- 1)-го порядка включительно в некоторой окрестности точки х—а, то для всех х из этой окрестности справедливо равенство

ft     ft J'W t        л , Г (я) /        42 ,

 

...+'—^(*-в)Чд,(*),

л!

где

 

Д,(х) =            --—      (х-а) (0<В<))

(л+1)!

— остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

Замечание. Полагая х=а + Ах, где Дх^О, формулу Тейлора можно представить в виде

f(a+Ax)-f(a)        • Д*+~ ■ (Ах)2 + ...

 

...Н       (Дх) Н (Дх)

л!         (л + 1)!       V '

(0<в<1),

обобщающем формулу конечных приращений Лагранжа. При в = 0 формула Тейлора принимает вид

 

1!         2! я!

 

<0<9<1)

(л + 1)! '

и называется формулой Маклорена.

Формулу Тейлора используют для представления функций многочленами, вычисления приближенных значений функций, при исследовании функций и вычислении пределов.

О Примеры.

1        і "

'Є*=1+Х + - + -+...+- + !\%, (Х).

2!    3! л!

cosx=l-- + --- + ... + (- 1)"-— - + RM (х).

2!    4!    6!      (2л)!   4 J

an-- + ... + (-1Г'--     + Rln(x).

З!    5!    7! (2л-1)!

(1+jc) = ] +тх-          х2-к..

2!

...+^-ї14т-п+1)х+ЯАх).

In (l+x) = x-- + --- + ... + (-l)"_1 - + R,(x). • 2     3     4 л

lim ф (x)=lim <р (х)= со, то при условии существования lim ——-..    * (х)

существует и lim      , причем имеет место равенство

<р (х)

,.    *W   .. *'(х)

lim       =lim    

х~а <Р (X)      <р' (х)

(правило применимо и в случае, когда а бесконечно).

Ф' (х)

Замечание. Если отношение                 в точке х = а также пред-

ч>' (*)

О оо

ставляет неопределенность вида    или      то при выполнении

О оо

соответствующих условий правило Лопиталя может быть приме-#'(*)

нено и к         , так что

<р' W

ф(х)         ф'(х) ф"(х)

lim       = lim    = hm   *

х^в Ч> (х)    х^а (?' (х)         <р" (х)

причем процесс, если это необходимо, можно продолжить.

Неопределенности вида (Ооо) или (оо —оо) приводятся к неопределенностям - или — с помощью алгебраических преоб-

0 оо

разований.

Неопределенности вида (1™), (оо°), (0°) приводятся к неопределенностям - или (— } с помощью предварительного логариф-

о V00/

мирования. О Примеры.

limi^^^Vlim2^^-. х-,2 х2 + 7х~\&   /   х^2    2дг+7 11

кх        х — 4

lim (х-4) tg—= (0oo)=lim     =

X-.4      8          х-4 ПХ

5.16. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей

Если существует окрестность точки х = а, в которой функции ф (х) и <р (х) дифференцируемы, за исключением, быть может,

самой точки х=а, <р' (х)Ф0 и либо lim ф (x)=lim q> (х)=0, либо

х-*а х-*а

132

--°=1ІШ '

Оу    л_4    я     1 п

8 их sin — 8

3. Вычислить предел lim (sin дс)'**= (1"').

 

133

 

Сначала найдем предел логарифма данной функции. Получим lim In (sinje)'iX= lim [tgjcln (sinjc)] = (oo• 0)=

х-»я/І х-чг/2

In (sin jc)   (0 ctgx

= lim    = - = lim          =

x-it/2     CtgX        /     X-,K{2 1

an1*

= lim (—sinxcosx)=0.

х-я/2

Отсюда

lim (smxf = e°=. •

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |