Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

5.18. экстремум функции

Если существует такая <5-окрестность точки х0, что для всех точек хФх0 и принадлежащих этой окрестности выполняется неравенство f(x)^f (лг0) ((/(х)(x0))t то точка х0 называется точкой нестрогого минимума (нестрогого максимума) функции / (jc), а число f(x0) — минимумом (максимумом) этой функции.

Если в указанной <5-окрестности выполняется строгое неравенство f(x)>f (jc0) (f(x)<f (jc0)), то точку ;со называют точкой строгого минимума (строгого максимума).

Точки строгого и нестрогого максимума и минимума функции называют ее точками экстремума.

Если х0 — точка минимума функции f(x), то в указанной <5-окрестности точки х0 приращение функции Af(x0)=f(x) — ~/(хо)2>® (4/Ч*о)>0); если же х0 — точка максимума функции f(x), то Д/(хо)^0 (А/(х0)<0) во всех точках 5-окрестности точки х0.

Пусть точка х0 является точкой экстремума функции f(x), определенной в некоторой окрестности точки х0. Тогда либо производная /' (х0) не существует, либо /' (х0)=0 (необходимый признак экстремума).

Точки, в которых производная функции f(x) не существует или обращается в нуль, называют критическими.

Например, для функции f(x) = 3y/x-(х—8) ее производная 4 х—2

f (х)=-'—=. Следовательно,/' (х) = 0 при х=2;/' (х) не суще-з у*1

ствует при х — 0 (f' (0)= — оо). Таким образом, точки экстремума функции / (х), если таковые вообще имеются, находятся только среди критических точек 1 = 0 и х — 2.

Достаточные условия строгого экстремума непрерывной функции

Пусть функция / (х) дифференцируема в некоторой окрестности ]х0 — о,х0 + <5[ критической точки Хо, за исключением, быть может, самой точки х0, в которой тем не менее функция f(x) непрерывна. Если при этом в интервалах ]х0 — <5, Хо[ и ]х0, х0 + <5[ производная /' (х) имеет противоположные знаки, то х0 — точка экстремума, причем:

а)         если/' (х)>0 при xe]xQ-S, х£ и/' (х)<0 при хє]хй, *ь + <5[>

то х0 — точка строгого максимума функции;

б)        если /' (х)<0 при хе]х0—5, Хо[ и /' (х)>0 при хє]х0, х0+<5[,

то х0 — точка строгого минимума функции.

Если же/' (х) сохраняет знак при всех х^х0, хе]х0-$, х0+<5[, то точка х0 не является точкой экстремума функции / (х).

Пусть /' (х0) = 0, функция /(х) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки х0 и /" (х) непрерывна в этой окрестности. Тогда:

а)         если /" (х0) < 0, то х0 — точка строгого максимума функции

f(x);

б)        если /" (х0)>0, то х0 — точка строгого минимума функции

/(*);

в)         если /" (х0)=0, то вопрос о наличии экстремума отстается

открытым.

3.         Пусть/' (х0)=/л (х0)=...=/""" (х0)=0, а/"' <хь)*0. Тогда:

а) если л — четное, то при/"' (х0)<0 точка Хо является точкой

 

(х0)>0 — точкой строгого мини-

строгого максимума, а при У*' мума;

б) если п — нечетное, то х0 не является точкой экстремума. О Примеры.

fix).

льно, согласно условию 1, точка х=0 не является точкой экстремума функции f(x). С другой стороны,/' (х)<0 при 0<х<2 и/' (х)>0 при х>2; следовательно, х = 2 является точкой строгого минимума, а число /(2)— —6 Ъу/2— минимумом функции

2.         Рассмотрим функцию /(х) — хъ — Зле1. Ее производная

/' (х) = 3хг — 6х = 3х (х — 2), так что f (х)=0 при х = 0 и х=2.

Вторая производная /" (х) = 6хи6 и, следовательно,

/" (0)= -6<0, а/" (2) = 12-6 = 6>0. Тогда, согласно условию 2,

точка jc=0 является точкой строгого максимума функции

и /(0) = 0, а точка х = 2 — точкой строгого минимума

и/(2)=-4.

3,         Пусть   дана   функция  f(x) = x .   Для   этой функции

f(x)=4x  /" (х)=12х2,  Г" (х) = 24х,  f (*) = 24,   так что

/' (0)=/" (0)=/"' (0)=0, a f (0) = 24>0. Тогда, согласно условию 3, точка х=0 является точкой строгого минимума и/(0)=Ю. •

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |