Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

6.2. полное приращение функции нескольких переменных

Пусть функция / (Л/) определена в некоторой окрестности точки М0(х°; ...; х?; х°). Рассмотрим точку Л/Д(х, + Дхі; ... ...; х° + Дх,; х°+Дх„). Полным приращением Af функции f(M) в точке А/0 называется число/(А/д)—/(Л/0), т. е.

Д/=/(А/д)-/(Л/0)=

=/(х° + Л*ь .... хЧ + Ахи-.... х°я + Ахп)-/(х°и     х? х£).

О Найдем,    например,    полное    приращение функции f{M) = x] + x в точке Л/0 (1, -2). Так как Л/4 (1 +Дхі; —2 +Дх2), то

ДГ=/ (А/д) -/ (А/о) = (1 + А х ,)2 + (- 2+Дх2)2 -12 - ( - 2)2 = = 2Дх1-4Дх2+(Дх1)г + (Д*2)2. •

Полное приращение функции нескольких переменных существует в любой точке, в окрестности которой эта функция определена.

О Найдем, например, полное приращение функции / (А/) = = х3 + ХіХ2 + Х|Х3 в произвольной точке Л/ (х,; х2; x3)eR3. Так как А/д (хі+Дх^ х2+Дх2; хэ + Дхэ), то

Af=f(MA)-f(MD)=(xl + Дх,)3 + (х, + Дх,) (х2+Дх2)+

+ (Х! + ДХі) (Хз+ДХз)-Хі-ХіХ2-Х1Хз = (Зх2 + Х2-|-Хз) Дх,+

+Х|Ах2 + ХіАхі+Зхі (Axi)2 + (A*i)3 + Ах^ • Дх2 + Дх, ■ Дх3. ф 6.3. Дифференцируемость функций нескольких переменных

Пусть функция / (Л/) определена в некоторой окрестности точки Л/о, M0eR . Функция / (Л/) называется дифференцируемой в точке М0, если полное приращение А/ в этой точке имеет следующий вид:

Д/= A j Дх, + А 2 Дх2+... + AjSx, + + а, Ах, + а2Ах2 + ... + с^АхЙ,

где А, А2,    Ая — некоторые числа, не зависящие от Axi, Ах2,

Ах„, а аи а2    ая-*0 при Ах^О, Дх2-»0, Ах„-»0.

0          Примеры.

Функция f (М) = х+х дифференцируема в точке Л/0(1; —2). В самом деле,

А/=2Дх,-4Дх2 + (Ах,)2 + (Ах2)2,

т. е.

Af— А і Axj + А2Ах2 + Я| Ах, + ос2Дх2,

где Ai — 2, А2=—4, а, = Дхь а2=Дх2.

Функция/(Л/)=х3 + х1х2 + х1хэ дифференцируема в любой точке М (хь х2; x3)eR3.

Действительн о,

Af=(3x}+x2 + x1) Дх,+ х,Дх2+Х|Ах3 +Ах[ (Зх|Дх| + + Дх2+Ах3 + (Дх|)2), т. е. Af= AiAxt + А2Ах2 + АъАхъ + 4-с^Дхі, где A, = 3х? + х2 + х3, А2-хи Аъ~хи a1 = = Зх|Ахі +Ах2+Дхз + (Ах])2 и oti-»0 при Дх|-»0, Дх2-»0, Дхз->0. •

Линейная функция/(Л/) = а1Хі + а2х2 + ... + очхя и квадратичная функция / (Л/)=a, [X + а22х +... + а^х2 + 2а, 2х, х2+2а, 3ХіХ3 +... ... + 2а1пХіХя+2а2іх2хі + ... + 2а2пх2хп+... + 2a„-lnx„_i х„ дифференцируемы в любой точке М (хь х2; хя)еЛ".

Свойства дифференцируемых функций

1          °. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна.

2°. Если функция / (Л/) дифференцируема в точке М0, то она имеет в этой точке все частные производные, причем

А/=Г- W ^1+? M> Ax2 + ...+^ (M0) Ax,+

OX[      OX2 ox„

4- о^Длі + a2Ax2 +... + а„Ахя,

где в], a2, .... a„-*0 при Дль Дх2, Ахя~*0.

3°. Если функция f (Л/) имеет все частные производные в некоторой окрестности точки Л/0, которые непрерывны в самой точке Л/0, то функция/ (Л/) дифференцируема в этой точке.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |