Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

6.5. градиент функции нескольких переменных

 

Градиентом функции f (Af) в точке Af0, M0eR"t называется вектор, координаты которого соответственно равны значениям частных производных функции / (АГ) в точке Af0, т. е.

Подпись:
Например, если f (АГ)—хл-ххх + хъъ то grad/={3xj+x2, 2х,х2, Ъх\] (grad/—градиент функции f (Af) в произвольной точке М (хх, х2; Xj)eR3). Если же f (Af)=xx2-x, M0(l; -1), то grad/Ufl=(-5; 7).

Основное свойство градиента.

Пусть функцияf(Af) дифференцируема в точке М0 (х°; х2; ... xJJ), a a=(oi, аъ    а„) — некоторый «-мерный вектор. Рассмотрим точку М, (xj + o,/, x + a2t,     x° + a„t). Тогда:

если скалярное произведение grad f м а <0, то существует

число Ті > О такое, что/ (Aii) <f (А/о) для всех t, 0 < г< ТЛ;

если скалярное произведение grad/l^ ое>0, то существует

число Т2 > О такое, что / (Mt)>f (Ма) при всех t, О < t< Т2.

Чтобы найти точку, в которой данная функция принимает значение,большее, чем в точке А10(х\; ...; х°), можно поступить следующим образом:

выбрать направление перемещения, т. е. найти вектор а=(аи а2, а„) такой, что grad/|M а>0 (если нет дополнительных ограничений, можно положить a=grad/|M(t);

рассмотреть точку AI, (xl+ait; x--a2t; x*4-a„f) и подобрать параметр t > 0 так, чтобы f (М,) >f (М0).

О Найдем точку, в которой значение функции f(Af)= = — Зх[ — Зх|+2х,х2+ ІОхі — 6х2 + 2 больше ее значения в точке Л/„(-1; 1).

Так как grad/={ — 6х! + 2х2+10, — 6х2+2х, — 6}, то grad/U„=(18, -14). Если а=(1, -1), то grad/U ■ «=18 + 14 = =32>0° 0

Рассмотрим точку М, (— 1 +    1-і). Тогда /(Л/,) =*-8/2 +

+ 32/—22 и при t=2 У^ = 0. Значит, при t=2 функция f(M,)

di

имеет наибольшее значение. Если / = 2, то М, (1, — 1) и/(А/,)= 10, в то время как / (А/0) = —22.

Рассмотрим более сложный пример: найти точку на плоскости

Xi + 3jc2+хъ = 15, в которой значение функции / (Л/) = — х, — —2х—х больше ее значения в точке М0 (1; 2; 8).

Рассмотрим точку М, (1 + а,/; 2 + a2t; 8 + а3/). Эта точка должна принадлежать данной плоскости, т.е. I +а^+Ъ (2 + а2/)+8 + + аэ/=15 или д] + За2 + аэ = 0. Кроме того, вектор а = (аи аг, а3) должен удовлетворять условию grad/|M а>0. Так как grad/ |mq = (— 2; — 8; — 16), то имеем систему

г    й1 + Ъа2 + а^ = 07

[-2а1-8а2-16а3>0. <*>

 

Вектор ос=( —2, 1, —1) является решением системы (*). Таким образом, М, (1-2/; 2 + /; 8-/), а/(Л/,) =-7/2 +12/-73. Функция f{M,) имеет наибольшее значение при /=6/7. Если / = 6/7, то

М, (-5/7;   20/7;   50/7),   а /(Л/,) =-67*,   в   то   время как

/(Мй)=-73. •

Основное свойство градиента используют для отыскания экстремумов функций нескольких переменных (п. 9.23; 9.24).

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |