Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

6.8. наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных

Пусть функция / (А/) определена и непрерывна на некотором ограниченном замкнутом множестве V и, за исключением, быть может, отдельных точек, имеет на этом множестве частные производные. В этом случае найдется точка А/0є V, в которой функция имеет наименьшее (наибольшее) значение на множестве V. Если точка А/0 лежит внутри множества V, то она является точкой экстремума функции и ее следует искать среди стационарных точек или точек, где не существует частных производных. Однако своего наименьшего (наибольшего) значения функция / (А/) может достигать и на границе множества V.

Таким образом, для отыскания наименьшего (наибольшего) значения функции / (А/) на множестве V необходимо:

определить все точки множества V, где не существует частных производных функции /(А/);

найти все стационарные точки функции / (А/), принадлежащие множеству V;

во всех найденных точках вычислить значения функции / (AQ и сравнить их со значениями функции на границе множества V.

Наименьшее (наибольшее) из этих значений и будет наименьшим (наибольшим) значением f (М) на всем множестве V.

О Найдем, например, наименьшее и наибольшее значения функции f (М) = &хг+у2-(х2+уг)2 внутри круга х2+у2^3.

Функция J (Af) имеет частные производные во всех точках. Так как grad/= (6х—4х (х2+у2), 2у—4у (х2 + у2)}, то для отыскания стационарных точек имеем систему уравнений

(16х~4х (х2+у2) = 0,

{ 2у-4у(х2+у2) = 0.

Из этой системы уравнений найдем следующие стационарные точки: А/, (0, 0), М2 (0; 1/уД), Мг (0; -1/0), М4 (2; 0), М5 (-2; 0). Тогда/(A/^0,/(M2)=/(M3) = 1/4, М4, M,i V.

Выясним, какие значения принимает функция / (М) в точках окружности х2+у2 = 3. Так как уг-Ъ-хг, — у/З^х^у/з, то на окружности f=Sx2 + 3 —х2 — 9 — 1х2—6, — у/з^х^у/з. Отсюда следует, что на окружности наименьшее значение равно

— 6 и достигается в точках М6 (0; у/Ъ) М1 (0; — у/з), а наибольшее значение равно 15 и достигается в точках А/8 (у/3;

о), л/, (-Уз, о).

Искомые наименьшее и наибольшее значения равны 6 и 15 и достигаются соответственно в точках

М< (уД; 0), М$ (-УЗ; 0) и М6 (0; у/з), А/7 (0; -у/з~). •

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |