Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

6.11. условные экстремумы функций нескольких переменных

Пусть функция / (М) определена на множестве V £ R". Точка МцЄ V называется точкой условного локального минимума (мак-симума) функции / (М) на множестве V, если существует окреста ость Sr (M)) точки М0 такая, что для всех точек MeSr (М0) f]

f] V выполняется неравенство / (А/0)</ (М) (f (М0) >f (М)).

Точки условного локального минимума и условного локального максимума функции / (М) на множестве V называются точками условного экстремума функции f(M) на множестве V.

Точка экстремума функции всегда является точкой условного экстремума. Если же точка условного экстремума функции f (М) на множестве V является внутренней точкой этогб множества, то она — точка экстремума функции f(M).

Рассмотрим множество

К={А/єК"|Ф, (М) = 0, і=1, 2, к; Ф((АО<0, і = А+1, ...,/}.

Точка М0 є V называется условно стационарной точкой функции / (М) на множестве V, если в ней градиент / (М) разлагается по градиентам тех функций Ф( (М), которые в точке М0 обращаются в 0.

О Например, точка М0 (4; 6) является условно стационарной

точкой функции / (М)~(х — 2)2 + {у-У)2 на множестве Q = {M (х, у)еК2Ф (М) = х2+у2-52^0}.     Действительно,     Ф(А/о) = 0,

grad/| „о = (4, 6), grad Ф | ^=(8, 12), т. е. grad/|        grad Ф | Uq. •

Предположим, что функция f (М) определена на множестве Р={М хг, jc„) | Ф, (xi, х2} хп) = 0, i = l, к). -В этом случае функция

L (*,, xlt      хп, Уі, у2, -., Ук) =

к

=/(хи Х2,       Х„)~ £ У,Фі {хъ Х2, Хя) ( = 1

называется функцией Лагранжа. Точка M0eR" является условно стационарной точкой функции /(М) на множестве Р тогда и только тогда, когда

' dL

■=0,у=1, 2,

OXj

8L

■ = 0, i=l, 2,

 

Например, найдем условно- стационарные точки функции f(*i, х2) = Ъх + 2х — Зх, + 1 на множестве Р={М (хи х^)Ф {М) = =jcf+jc I—4=0}. Функция Лагранжа в этом случае имеет вид

L(xu хъу)=Ъх+2х~Ъхх + -у (х+х-4):

 

Тогда

dL 3L

—=6jc1-3-2>-;c, = 0; —=4x2-2j>x;2=0;

Ьх дхг

^=_(хї+*ї-4)=0,

откуда найдем следующие четыре условно стационарные точки: А/, (3/2; у/7/2), М2 (3/2; -у/~7/2), А/, (2; 0); А/4 (-2; 0). •

Необходимое условие условного экстремума функции на множестве

V=*{MeK"\<bi (А/)=0, i=l, -., *; Ф,(А/К0, ;=*-Н, ...,/}.

Предположим, что А/0 — неособая точка условного экстремума функции/(Af) на множестве F. Если функции f (Af) и Ф, (A/), i= 1, 2, Л, к+1, /, дифференцируемы в точке А/0, то эта точка является условно стационарной точкой функции / (А/) на множестве V.

Условно стационарная точка функции f (Af) на множестве V может не быть точкой условного экстремума. Однако все неособые точки условного экстремума находятся среди условно стационарных точек (при условии дифференцируемости функций /(А/) и Ф( (А/), 1 = 1, 2,     к. к +1, /)-

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |