Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

6.12. наименьшее и наибольшее значения функции на множестве решений системы уравнений и неравенств

Рассмотрим функцию f (Af) и ограниченное множество

У~{МєЯ"Ф,(М)=0, і = 1, 2, к;

Ф,(А/)<0, Ык + 1, ..,/}.

Предположим, что функции Ф, (Af), i=l, 2,     к, fc+l, /,

дифференцируемы в любой точке А/Є И", а функция f {Af) дифференцируема на множестве V.

Отыскать наименьшее и наибольшее значения функции / (М) на множестве V можно следующим образом:

выявить все особые точки множества V;

найти все условно стационарные точки функции / (М) на множестве V;

в каждой из найденных точек вычислить значения функции f (М) и выбрать среди них две точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.

О Найдем, например, наименьшее и наибольшее значения функции

/(Л/)-(*-2)2 + 0-3)2

на множестве Q = {M (х, у)Ф (М) = хг + уг — 52^0}. Особых точек у множества Q нет. Поэтому найдем условно стационарные точки f(M) на множестве Q. Для этого составим систему

grad /= X grad Ф, ХФ(М) = 0,

 

откуда получим

'2 (х-2)= X (2х), '2(у-3) = Л(2у), Я (xz+^z-52)=0, ухг+у1-52^0.

 

Решив эту систему, найдем точки М, (2; 3), М2 (4; 6), М3 ( — 4; —6). Так как /(!/[) = (), /(Л/2) = 13, /(Мъ) = 117, то наименьшее значение/ (Л/) равно 0 и достигается в точке М (2; 3), а наибольшее значение равно 117 и достигается в точке Mj ( — 4; —6).

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |