Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

7.6. основные свойства определенного интеграла

1°. При перестановке пределов интегрирования интеграл меняет знак на обратный:

]f(x)dx=-]f(x)dx.

а Ь

2°. Каковы бы ни были числа а, Ь, с, имеет место равенство

Ь          с ь

]f(x)dx=f(x)dx + f(x) dx.

а          а          с 1

3°. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

ъ ь ]Af(x)dx=Af(x)dx.

а а

4°. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

ь          ь          ь ъ

] [f(x) + g(x)-h(x)]dx = lf(x)dx+lg(x)dx- h(x)dx.

a ana

 

5°. Теорема о среднем значении. Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению длины промежутка интегрирования на значение подынтегральной функции при некотором промежуточном значении аргумента

]f(x)dx=(b-a)m,

а

где се]а, Ь{.

6°, Если F(x) — какая-либо первообразная от непрерывной функции f(x), то справедлива формула Ньютона — Лейбница

}f(x)dx = F(b)-F(a).

а

7.7. Вычисление определенных интегралов

Основным способом вычисления определенных интегралов является определение первообразной для подынтегральной функции и использование формулы Ньютона — Лейбница, которая может быть записана в виде

f(x)dx=F(x)

= F(b)-F(a).

 

Определение первообразной для многих функций может быть сложным процессом: не все функции имеют первообразные в виде элементарных функций. Поэтому для вычисления определенных интегралов используют приближенные формулы.

Разбивают отрезок интегрирования [а,Ь] на л равных частей длиной h = (b—a)jn и используют одну из следующих формул:

1) формула прямоугольников *

Jydjf=;A(y0+y1 + ...+yn_l);

 

2) формула трапеций ь

/Уо+Уп

/Уо+Уп

ydx

■+Уі+Уг + -+Ун-

 

3) формула парабол (Симпсона) (л — четное)

* h

ІУ йх^-<у0+4Уі +2у2+4у3 +... + 2у„_2+4ул_, +у„)

 

(чем больше л, тем точнее результат вычисления определенного интеграла).

 

7.8. Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), осью Ох, прямыми х=а, х=Ь, находят по формуле

ь

S=jf(x)dx.

а

 

Объем тела, образованного вращением кривой y—f(x), ограниченной прямыми х=а, х = Ь при а<х<Ь, вокруг оси Ох, равен

Vx=njy2dx.

л

Объем тела, образованного вращением кривой х—<р(у), ограниченной прямыми у—с, y^dnpu c<y<d, вокруг оси Оу, равен

d

Vy=n[x2dy.

с

Длину дуги плоской кривой у=/(х), ограниченнной прямыми х=а, х=Ь, определяют по формуле

l=y/~Myfdx.

а

Площадь поверхности, образованной вращением кривой y=f(x), ограниченной прямыми х=а, х=Ь, вокруг оси Ох, равна

Sx=2nyyfT(yfdx.

а

Площадь поверхности, образованной вращением кривой х=ф{у), ограниченной прямыми у = с, y=d, вокруг оси Оу, равна

d

S^lnSxy/l + ixfdy.

с

 

7.9. Несобственные интегралы

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на промежутке [а, + со[ (рис. 7.3). Рассмотрим интеграл $f(x)dx. Предел

а

Ь

lim f{x)dx

Ь-* + со а

называют несобственным интегралом первого рода от функции

+ »

f(x) на промежутке [а, + оо[ и обозначают J f(x)dx, т. е.

а

+ оо *

J f(x)dx= Urn lf(x)dx. Если указанный предел конечен, то говорят, что несобственный

+ 00

интеграл J f(x) dx сходится; если бесконечен или не существует, то расходится.

Аналогичным способом определяют несобственный интеграл первого рода для промежутка ] — со, Ь] (рис. 7.4):

4 Ь

J /(jc)cLc= lim ff(x)dx.

а-* —со a

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале ] — со, + со[ и пусть точка се] — со,1 + со[. Тогда сумму

J f(x)dx+ lf(x)dx

(7.4)

 

называют несобственным интегралом первого рода от функции

+ 00

f(x) на интервале ]— со, +оо[ и обозначают   _[ f(x)dx. Этот

 

интеграл сходится, если оба интеграла  J f(x)dx,   J f(x)dx

Г lim

J    x     *-. + a

сходятся. В этом случае сумма (7.4) не зависит от выбора точки с. О Примеры.

1.

і

lim    d- — lim In b (интеграл расходится).

J   x     »- + co

■ і

— = lim

l+Jt2       ■—CD

ao

= lim (arctg*-arctga)=

4-» +to

(интеграл сходится).

 

Пусть функция f(x) определена и непрерывна при а^х<Ь и не ограничена в любой окрестности точки х=Ь (рис. 7.5). Предел

lim J f(x)dx

«-.0 a

называют несобственным интегралом второго рода от функции fix) на промежутке [а, Ь{.

Если этот предел конечен, то несобственный интеграл

 

J/(x)djc=lim J f(x)dx

 

называют сходящимся; если беског нечен или не существует, то расходящимся.

Аналогично определяют несобственные интегралы от функций, определенных и непрерывных при а<х^Ь (рис. 7.6):

ь ь J/(^)dJc=lim J f(x)dx.

a          «-»0 д + «

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а, Ь)> за исключением точки се]а, Ь[, в любой окрестности которой она не ограничена (рис. 7.7). Тогда несобственный интеграл от этой функции определяется как сумма двух несобственных интегралов на промежутках [а, с[ и ]с, Ь]:

}f(x) dx=]f (х) dx+1 f{x) dx.

 

Этот интеграл сходится, если оба слагаемых сходятся. О Пример.

dx

dx

+ lim J

d.v

 

= lim(-^V '+lim(—-V   = lim(^-l) + hm(-l+-J

,<-.0   0          «'-ОХ   1+**     i-oV       /     Ґ-А e"J

(интеграл расходится). #

7.10. Кратные интегралы

Двойной интеграл. Наряду с одномерным определеннь интегралом, называемым интегралом Римана, существуют дву! мерные и л-мерные (л-кратные) интегралы. Двумерный, или двойной, интеграл задается для функции двух переменных, явля-^ ющейся кусочно-непрерывной в квадрируемой области fl на плоскости Оху. Под квадрируемостью понимается существование общей числовой грани для бесконечного множества площадей многоугольников, описанных и вписанных в область Q.

Этот интеграл определяется как предел интегральных сумм aN, вычисляемых по формуле

 

oN=Ylf(Zi,Tli)&xfAyi,

 

где Ахі Ду(=Д5( — площади элементарных прямоугольников, составляющих конечное разбиение области &; л, — координаты точек Mh выбранных в указанных элементарных прямоугольниках.

Значение интеграла равно

I=\f(x, у)йх6у= lim (тл(Дх,-*0, Д>",—*0).

Двойной интеграл имеет геометрический смысл, выражаемый объемом криволинейного цилиндрического бруса, ограниченного поверхностью z=f(x, у), плоскостью Оху и вертикалями ц>( х, у)—6, исходящими из граничных точек области П на плоскости Оху (ряс. 7.8).

Основные свойства двойного интеграла

1°. Если область Q, в которой задана функция f(x, у), разбита

на две слагаемые части £lt и £12, то имеет место равенство

ЯД*, y)dxdy = а

^tffdxdy+tffdxdy.

О, Oj

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

l(kj)dxdy~k fdxdy. а а

3°. Интеграл от суммы кусочно-непрерывных функций равен сумме интегралов от этих функций:

fiV+g)dxdy = Hfdxdy+flgdxdy. а по

4°. Если две функции fug связаны в области Q условием

vA/єП /(Л/)^(АГ>, то имеет место неравенство

\]fdxdy*k\gdxdy. а а

5°. Абсолютное значение интеграла удовлетворяет следующему неравенству:

|Цf{x.. у)dxdy*kЯf(x, У) |dxdy. а а

Теорема о среднем для двойного интеграла.

а)         Определенный интеграл от кусочно-непрерывной функции

равен произведению площади области интегрирования Л на некото-

рое значение, лежащее между крайними значениями ти М подын-

тегральной функции:

ft fix, y)dxdy = p.Sim^u^M); о

б)        в том случае, когда функция f(x, у) обладает непрерыв-

ностью в области П, это равенство принимает вид

ttf(x,y)dxdy=fiQS, где СеП. а

Вычисление двойного интеграла. Основной способ вычисления двойного интеграла — численное интегрирование с применением формул квадратурной аппроксимации, являющихся аналогами формул прямоугольников, трапеций и парабол, распространенных на области соответствующего профиля.

В качестве точных формул можно использовать формулы повторного интегрирования, сводящие двойной интеграл к следующим равенствам:

а) в области [а, Ь с, d], совпадающей с прямоугольником,

Я/(х, y)dxdy = dx fdy=]dy }/dx;

£1        а        с            с а

б)        в области [a, b; <Ру(х), <р2(х)], совпадающей с трапецией

(рис. 7.9),

llf(x. y)dxdy=idx Y f(x, y)dy;

 

в)         в области [ф1 (у), фг (у), с, d], совпадающей'с трапецией (ри .

7.10),

d

\f(x,y)dxdy=ldy J f(x,y)dx.

a          c *м

 

Во всех остальных случаях составляют разбиение области S1 на элементарные прямоугольники и трапеции и используют аддитивные свойства интеграла.

л-кратные интегралы (основные понятия) при л>2. л-кратный интеграл определяется для функции « переменных, являющейся кусочно-непрерывной в измеримой л-мерной области П. Интеграл задается как предел интегральных сумм вида

 

і-і

где Ахц — приращения 1-й координаты в і-м элементарном л-мер-ном прямоугольнике; fл — значения 1-й координаты, выбранной в і-м элементарном прямоугольнике. Значение интеграла равно

 

J=l- f{xt, хг, .... x„)dxidx2...dxn= lim <тн(Ахі~+0).

 

n-кратный интеграл не имеет простого наглядного геометрического смысла, но истолковывается как величина (л+ 1)-мерного объема в соответствующем пространстве.

Свойства п-кратных интегралов

На значения л-кратного интеграла переносятся все свойства двойных интегралов.

Теорема о среднем для л-кратного интеграла. На значение п-кратного интеграла переносится теорема о среднем в следующем виде:

а)         JJ...$f(xu х2, .... x„)dx1dx2..dxn=ojp,

п

где (о — объем n-мерной области її; р. — среднее значение, лежащее между двумя крайними значениями т и М;

б)        tf-JА*1> хг      xn)dXi dx2... dx„~<of(C),

а

где СєП.

Вычисление и-кратного интеграла. Основной способ вычисления л-кратного интеграла — численное интегрирование с применением формул л-мерной квадратурной аппроксимации.

В качестве точных формул можно использовать формулы повторного интегрирования, сводящие кратный интеграл к следующим равенствам.

а)         В п-мерном прямоугольнике [at,     а2, b2 ...; а„,

ft,      ft, ь„

Я...|/(х!,х2,....xn)dxidxz...dxH= Jdxt |dx2... f(xl,x2,....x„)dx„.

 

Примечание. В данной конфигурации допустимы произвольные перестановки порядка повторного интегрирования.

б)        В п-мерной трапеции [а1( Ьх; аг, Ь2 ...; q>i (ху, ...,хв_|),

Ф2(х x„_S]

 

Я-№і^2           x„)dx,dx2...dx„ =

а

 

= Jdxjdx2...      J      f(xi,x2. x„)dxe.

 

Во всех остальных случаях область разбивают на элементарные л-мерные прямоугольники и трапеции и используют аддитивные свойства интеграла.

О Примеры.

 

If , 9хЧі

=    л: In         

2V      4х* + 1

Ч 2

 

о О

 

9х2-И   4х" + 1

dx =

,37 г/ 1   1 ^ , 17 1   ^ 1

=1п —+ П      ldx=ln~ + -arctg6 — -arctg4.

17   iV^ + l   4x2+J   37   3 2

 

2. Найти л-кратные интегралы для фунхций вида /(xlf х2, .... x„)=sm(x1 + x2 + ... + xx),

g(xlt х2, .... x„) = cos(x1 + x2 + ...+x„)1

Q — область типа n-мерного прямоугольника с ограничениями

а^х^^, а2^х2^Ьг      а„<х„<£„. Имеем

 

Д...{Дхх, х2,     x„)dx1dj:2...dxn=}djf, Jdx2... Jsinf £ x,ldx,,=

О          Hi       Oj          a,       /- J /

=2"flsin           sin,

/-і       2 L2'-i

 

l...g{xv хг, .... x„)dx1dx2...dj:„=Jdx1 Jdx2... Jcos( ^xJdx,,-

=2"flsin со.П£(«+*Д f-i       2       L2'-i J

 

Примечание. Доказательство проводится методом индукции. Прил=1 /= sinх, g—cosх, smxdx=cosa — cosb=z2sm     sin      

І           2 2

г          .       ...        „ . Ь—а а+Ь

I cosjcdjc=sino — sin a=2 sin          cos     

І           2 2

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |