Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

7.11. обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, функцию у и ее производные:

П*. У. У'          /°) = о.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение. Дифференциальное уравнение л-го порядка вида

у-Я)=Г(х,у,у'  /"") (7.5)

называется разрешенным относительно высшей производной.

Решением дифференциального уравнения л-го порядка называется всякая функция у—<р(х), определенная для значений х на конечном или бесконечном интервале, имеющая производные до л-го порядка включительно и такая, что подстановка этой функции и ее производных в дифференциальное уравнение обращает последнее в тождество по х.

Нахождение решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения (7.5) называется такое его решение

y=q>(x, Clt С2, .... С),

которое содержит столько независимых произвольных постоянных Clt С2,     С„, каков порядок этого уравнения.

В результате решения дифференциального уравнения нередко приходят к зависимости, в которой у явно не выражается через х, т. е. получают выражение

Q(x,y, Су, С2   С)=0. (7.6)

Равенство вида (7.6), неявно выражающее общее решение дифференциального уравнения, называется общим интегралом этого дифференциального уравнения.

О Пример. Решением дифференциального уравнения второго порядка у "+у = 0 является, например, функция у=sin х.

В самом деле, y' = cosx, у" = — sin х. Подставив выражения для у  и  у"  в   уравнение,   получаем  тождественное  равенс о — sinjc+sinjr = 0.   Функции   y=C1SlQX,   j = C2cosjc, где и С2 — произвольные постоянные, также являются решен* данного уравнения.

Во многих случах требуется находить решения дифферен: ального уравнения, удовлетворяющего некоторым дополните ным условиям. Например, задача Коши состоит в отыскаь решения дифференциального уравнения (7.5), определенного в которой окрестности точки х0 и такого, что

У(х0)=у0,  У'(х0)=Уи УІ"~,)(хс>)=у^1,

где Уо> У     Уп-1 —■ заданные числа. (

О Пример 1. Найти решения дифференциального уравнения;

у'=х, удовлетворяющего начальным условиям у (х0) = у0. Интегрируя левую и правую части уравнения, находим

 

где С — произвольная постоянная. Подставляя начальные усло-

вия, определяем С: С—у0—-. Искомое решение примет вид

 

У = -+Уо—2.

Это решение определено на всей числовой оси. Ф

О Пример 2. Решение дифференциального уравнения у'+у2 = 0, удовлетворяющего условию у(0) = 1, имеет вид

У(*)-~ ■

1 +х

Это решение определено, на полуоси ] — 1, + оо[. Ф

Кроме задачи Коши для дифференциального уравнения (7.5) решаются также краевые задачи. Например, для дифференциального уравнения второго порядка y"=f(x,y, у') отыскивают решение на отрезке [*о> -*J такое, что выполняются граничные (краевые) условия у(х0)=у0, уіх^Уі-

О Пример 3. Найти решение уравнения у" = 4х, удовлетворяющего граничным условиям у(0) = , у() = ^.

Последовательно      интегрируя      уравнение, находим 2

y' = 2x2+Cl7 y~'X3 + Ctx+C2. Подставим в выражение для

у граничные условия. Получим С = 0, Сг — . Искомое решение таково:

•    2 .

у = ^хъ+1. ф

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |