Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

7.16. разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Разностные методы решения дифференциальных уравнений — это способы вычисления значений искомого решения у(х) на некоторой сетке значений аргумента.

Разностные методы позволяют находить только конкретное (частное) решение, например решение задачи Коши. Но эти методы в настоящее время являются основными при решении дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ.

Одним из простейших разностных методов является метод ломаных, или метод Эйлера.

Пусть требуется решить задачу Коши для уравнения первого порядка

У'=ДхгуХу(х0)=у0

на отрезке [х0, хя].

На данном отрезке выбирают некоторую сетку значений аргумента х0, х1г .... xN, для которых вычисляют значения функций у по схеме

Уп+і=У,+№(хп, уЛ), h„ = x„+i-x„,

где n=0, 1      JV-1.

Этот метод дает хорошее приближение к решению только для достаточно малых А„.

Модификации этрго метода определяются следующими формулами:

t

K           f(Xn. Уп) -

Хп + -,Уп +     К ,

 

hn

Л+і^У.+т {/(*.. У.)+/[х.-н, У*+А*п, yJtQ}.

о

Более высокую точность обеспечивает метод Рунге — Кут-та. Наиболее употребительной является следующая схема указанного метода:

К

Л+1=Л+-г(*1 + 2*2+2*э+*Д (7.23)

6

 

где

 

ki=f(x„, y„), k2=flx„+-, у,+-кЛ

 

При решении конкретных задач используют также и другие разностные методы решения дифференциальных уравнений.

О Пример. Решить задачу Коши методом Рунге — Кутта для дифференциального уравнения у' =хг+уг, у(0) = 1 на отрезке [О, 0,7].

Выберем шаг А = 0,1. Используя формулы (7.23), получаем следущие значения функции у на сетке значений х:

 

X

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

У

1

1,11

1,25

1,44

1,7

2,07

2,64

3,65

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |