Имя материала: Справочник по математике для экономистов

Автор: В.И. Ермаков

Раздел viii ряды 8.1. сумма числового ряда

Выражение

ai + az + ... + a„ + ...= £ ап,

 

где а1, аг, .... а„, ...—некоторые числа, называют числовым рядом. Числа я1Р аг, .... а„, ... — члены ряда.

оо

Для каждого числового ряда £ ая можно построить последо-вательность его частичных сумм S„:

S„ = ai + a2 + ...+аЙ, п=, 2, .... О Пример. Для ряда

її          1          £ 1

1 2   2 3          л(и+1)          и_|Л(л + 1)

1          .           1     „           1            1          ,       1       1 1

1    1 2            2         1-2   2-3        2   2 3

1          „      1      1 1

= 1--;8, = ^-+ -— + ...+-

3          1 2   2 3 я(л+1)

,111 11,1

= 1—+— + ...+            =1        ; .... •

2   2   3           л   л+1 л+1

Конечный предел 5 последовательности частичных сумм ряда £ а„ называют суммой этого ряда.

О Пример. — Н—- +... Н      ^— 4-... = 1, так как

"1-2   2.3 я(л-И)

 

lim S„=Hm (1 — ) = 1-

Если S — сумма ряда £ а„, то число rn—S—S„ называют остатком ряда. Так как lim г„=0, то при достаточно большом «

и-* со

SxS„ (S„ — частичная сумма ряда).

Числовой ряд называют сходящимся, если он имеет сумму, и расходящимся в противном Случае. О Примеры.

1.         Гармонический ряд 1+- + - + ...Н—к., расходится.

2   3 л

2.         Геометрическая прогрессия a+aq+aq2 +... + адл_1 + ...

(я#0) сходится при |?|<1 и расходится при      Если |(7І<1,

^              я-і <*

то a+aq + aq + ... + aq    +...=            .

3.         Обобщенно гармонический ряд — Н     I-...H     Ь~. сходится

1*  2* и*

при а > 1 и расходится при а ^ 1.

4.         +          + ... + (-1)   - + ... = 1п2.

3   4 п

5.i-i+-1-I+...+ C-ir-L+„.=-

5   7     2л-1 4

-,11      1 я1

6.1+^ + ...+- + ...= -.

7.i-i+V^-+(-ir4+----

2*   З1   А1     п3 12

8. - + - + ...+ - + ... = е-1.

1!   2! п!

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |